Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
ра
т. е. оказываются, как и следовало, положительно определенными. При квантовании же по Бозе мы получили бы из (25,3) бессмысленные не положительно определенные собственные значения
Ee(AU-AU.
Аналогичное (25,5) выражение
Р = Z Р (Ща + Npa) (25,6)
ра
получается и для импульса системы — собственных значений оператора ^ ¦ф + Р'ф С?3ЛГ.
Оператор 4-тока
(25>7>
и для оператора «заряда» поля получаем
Q — ^ 'ФУ 'Ф d X — ^ (йройра -f- ЬроЬра) — ^ (йpadpa — ftpa&na “Ь 1 )> ра ра
(25,8)
его собственные значения
Q = Z (Nра — Nра). (25,9)
ра
Таким образом', мы снова приходим к представлению о частицах и античастицах, к которым относится все сказанное по их поводу в § 11.
Но в то время как частицы со спином 0 являются бозонами, частицы со спином */2 оказываются фермионами. Если проследить за формальным происхождением этого различия, то мы увидим, что оно возникает в связи с разницей в характере выражений «плотности энергии» для скалярного и спинорного полей. В первом случае это выражение оказывается положительно оп-
118
ФЕРМИОНЫ
1ГЛ. ш
ределенным, в результате чего в гамильтониан (11,3) оба члена (d+d и ЬЬ+) входят со знаком плюс. Для обеспечения положительности собственных значений энергии замена bb+ на Ь^Ь должна происходить при этом без изменения знака, т. е. по правилу коммутации Бозе. В случае же спинорного поля «плотность энергии» не является положительно определенной величиной, в результате чего в гамильтониане (25,3) член ЬЬ+ оказывается со знаком минус, и для получения положительных собственных значений замена bb+ на b+b должна сопровождаться изменением знака, т. е. происходить по правилу коммутации Ферми.
С другой стороны, вид плотности энергии непосредственно связан с трансформационными свойствами волновой функции и с требованиями релятивистской инвариантности. В этом смысле можно сказать, что и связь спина со статистикой, которой подчиняются частицы, тоже является прямым следствием этих требований.
Из того факта, что частицы со спином '/2 являются фермио-нами, следует также общее утверждение: все частицы с полу-целым спином являются фермионами, а частицы с целым спином — бозонами (в том числе доказанное в § 11 утверждение для частицы со спином 0) ¦).
Это становится очевидным, если заметить, что частицу со спином s можно представить себе «составленной» из 2s частиц со спином '/г- При полуцелом s число 2s нечетно, а при целом s — четно. Между тем «сложная» частица, содержащая четное число фермионов, является бозоном, а содержащая нечетное число фермионов — фермионом2).
Если система состоит из частиц разного рода, то для каждого рода частиц должны быть введены свои операторы рождения и уничтожения. При этом операторы, относящиеся к различным бозонам или же к бозонам и фермионам, коммутируют друг с другом. Что же касается операторов, относящихся к различным фермионам, то в пределах нерелятивистской теории их можно было считать либо коммутирующими, либо антикоммутирующими (III, § 65). В релятивистской же теории, допускающей взаимные превращения частиц, следует считать операторы ро-
1) Происхождение связи между спином частицы и статистикой, которой она подчиняется, было выяснено Паули (W. Payli, 1940).
2) В этих рассуждениях подразумевается, что все частицы с одинаковым спином должны подчиняться одной статистике (вне зависимости от способа их «составления»). Что это действительно так, видно из аналогичных рас-суждений. Так, если бы существовали фермионы со спином 0, то из фер-миона со спином 0 и фермиона со спином ’/г можно было бы составить частицу со спином Va, которая была бы бозоном — в противоречии с общим доказанным для спина !/а результатом.
5 26]
ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ
119
ждения и уничтожения различных фермионов антикоммутирующими, так же как и операторы, относящиеся к различным состояниям одних и тех же фермионов.
Задача
Найти лагранжиан спинорного поля.
Решение. Функция Лагранжа, отвечающая уравнению Дирака, дается вещественным скалярным выражением
L = — <М> ¦ у'Ч) — тфф. (1)
Понимая под «обобщенными координатами» q компоненты -ф и i|J, легко убедиться в том, что соответствующие уравнения Лагранжа (10,10) совпадают с уравнениями Дирака для "ф и ф. Общий знак лагранжиана (как и общий коэффициент в нем) в данном случае условен. Поскольку L содержит производные от i|> и ф линейно, действие S = ^ L d*x все равно не
может иметь ни минимума, ни максимума. Условие 6S = 0 определяет в этом случае лишь стационарную точку, но не экстремум интеграла.
Лагранжиан спинорного поля получается заменой в (1) ijj оператором "ф. Применив к этому лагранжиану формулу (12,12), получим оператор тока (25,7).
§ 26. Зарядовое сопряжение и обращение спиноров
по времени
Множители i|)pa = upae~ipx, стоящие в (25,1) при операторах a ра, представляют собой волновые функции свободных частиц (будем говорить «электронов») с импульсами р и поляризациями а:
Множители же 4>_D_0 при операторах Ь надо рассматривать
как волновые функции позитронов с теми же р, а. При этом, однако, окажется, что электронные и позитронные функции выражены в различных биспинорных представлениях. Это ясно из того, что *ф и тф различны по своим трансформационным свойствам и их компоненты удовлетворяют различным системам уравнений. Для устранения этого недостатка надо произвести определенное унитарное преобразование компонент — та-кре, чтобы новая четырехкомпонентная функция удовлетворяла тому же уравнению, что и ijjpo1). Именно такую функцию мы и
