Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
= y' = UyU~\ == Ч>'*?°' = ^U+ = ^U~\ (26,19)
то в новом представлении
(СЧ>)' = и (Ст|з) = иис\р = иис (фи) = иис0ф. Сравнивая с определением матрицы U'c в новом представлении ((Ci|))' = t/?ij/). находим
U'C = UUCU. (26,20)
Преобразование (26,20) совпадает с преобразованием матриц у ,лишь для вещественных U. Поэтому и выражение (26,5)' справедливо лишь в представлениях, получающихся из спинор-ного или стандартного вещественным преобразованием.
Матрица (26,5) унитарна, а транспонирование меняет ее знак:
UcU+ = 1, Uc = -Uc.'. (26,21)
Эти свойства инвариантны относительно преобразования (26,20)', а следовательно, имеют место в любом представлении. Матрица
(26,5) также и эрмитова (UC = U?), но это свойство в общем случае нарушается преобразованием (26,20).
Все сказанное (в том числе (26,21)) относится и к свойствам матрицы UT.
В аппарате вторичного квантования преобразования С, Р, Т для ^-операторов должны быть сформулированы как правила преобразований операторов рождения и уничтожения частиц. Эти правила можно установить (подобно тому, как это было сделано
*) Запись СРТ предполагает действие операторов в порядке справа налево. Общий^знак в (26,17—18) зависит от этого порядка ввиду неком-мутативности Т с С и Р (в их действии на биспинор).
124 ФЕРМИОНЫ [ГЛ. Ill
в § 13 для частиц со спином 0), исходя из требования, чтобы преобразованные ф-операторы могли быть представлены в виде
¦фс(/, г) = {/сф(/, г),
(/, г) = (t, — г), (26,22)
фг(/, г) = UTty(—t, г).
Задача
Найти оператор зарядового сопряжения в представлении Майораны (см. задачу 2, § 21).
Решение. Матрица Uс в представлении Майораны получается из матрицы Uс = —а,у в стандартном представлении преобразованием (26,20)
с U = (ау + P)/V2" и равна Uq = ау (иу и р обозначают матрицы стандартного представления). Обозначая штрихом величины в представлении Майораны, имеем Ст|/ = и'с (i]/*fO> и поскольку ф' = ау, то Ст|/ = ау (i|)'*aj,) = = -ф'*,
т. е. зарядовое сопряжение эквивалентно комплексному сопряжению.
§ 27. Внутренняя симметрия частиц и античастиц
Волновая функция частицы со спином */2 в ее системе покоя сводится к одному 3-спинору (обозначим его Ф“). С поведением этого спинора при инверсии связано понятие о внутренней четности частицы. Однако (как было уже указано в § 19), хотя два возможных закона преобразования 3-спиноров (Фа-*-± iOaJ и не эквивалентны друг другу, но приписывание спинору определенной четности не имеет абсолютного смысла. Не имеет поэтому смысла говорить и о внутренней четности самой по себе частицы со спином 1/2. Можно, однако, говорить об относительной внутренней четности двух таких частиц.
Из двух (трехмерных) спиноров Ф(1) и Ф(2) можно составить скаляр Ф^Ф^0. Если это — истинный скаляр, то говорят, что описываемые данными спинорами частицы имеют одинаковую четность; если же это — псевдоскаляр, то говорят о противоположной внутренней четности частиц.
Покажем, что внутренние четности частицы и античастицы (со спином V2) противоположны (В. Б. Берестецкий, 1948).
Для этого заметим, что если к обеим сторонам Р-преобразо-вания (19,5) (в спинорном представлении)
(27,1)
§ 271 ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ ЧАСТИЦ И АНТИЧАСТИЦ 125
применить операцию С (26,7), то получим
С<1* •«.<?* *<?* ; C(L*
т) , К "•’«I .
где индексом с отмечены компоненты биспинора ^ ).
зарядово-сопряженного биспинору ^”(^)- Произведя комплексное сопряжение и переместив индексы, найдем
(27,2)
Мы видим, что зарядово-сопряженные биспиноры преобразуются при инверсии по одинаковому закону.
Пусть — волновая функция частицы (электрона), а г|з(п) — волновая функция античастицы (позитрона). Последняя есть биспинор, зарядово-сопряженный некоторому «отрицательно-ча-стотному» решению уравнения Дирака. В системе покоя каждая из них сводится к некоторому 3-спинору:
?(э'“ == т/э) = Ф(э,а ?(п,а — T^n) == ф(п,а .
Согласно (27,1—2) эти спиноры преобразуются при инверсии по закону
Ф“ гФч, (27,3)
одинаковому для Ф(э) и Ф(п>. Произведение же ф<э>ф(п> меняет знак, что и доказывает сделанное утверждение.
Истинно нейтральной называют частицу, совпадающую со своей античастицей (см. § 12). гр-оператор поля таких частиц удовлетворяет условию
ф(/, г) = фс(/, г).
Для частиц со спином l/z это означает условия (в спинорном представлении) ‘)
ia = -in+, Лй = -4+- (27,4)
Как и всякие соотношения, выражающие собой какие-либо физические свойства, эти условия инвариантны относительно преобразования СРТ2). Легко проверить, что фактически они инвариантны не только по отношению к СРТ, но и по отношению к каждому из трех преобразований в отдельности.
*) В представлении же Майораны истинная нейтральность означает просто эрмитовость оператора гр' (см. задачу к § 26).
2) Точнее, преобразование СРТ должно быть определено в данном слу-
чае так, чтобы оставлять инвариантными соотношения типа (27,4). Это достигнуто соответствующим выбором фазового множителя в определении матрицы Uj (см. примеч. на с. 122).
126 ФЕРМИОНЫ [ГЛ. HI
Мы условились в § 19 определять инверсию спиноров как преобразование, для которого Р2 = —1, и до сих пор следовали этому определению. Легко видеть, что полученный выше результат об относительной четности частиц и античастиц не зависит, как и должно быть, от способа определения инверсии.
