Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Мц = const. (134,5)
§ 134]
АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
673
Как ясно из характера вывода, эти результаты относятся не только к первому неисчезающему, но и к высшим (т. е. с учетом радиационных поправок) приближениям теории возмущений— если только не обращать внимания на логарифмические (вида In (s/m2)) множители; зависимость от безразмерных логарифмов, разумеется, не может быть выяснена из соображений размерности ').
Иная ситуация возникает, если увеличивать s при фиксированном /, т. е. при фиксированном квадрате передаваемого импульса. Другими словами, рассматривается рассеяние на малые, убывающие с ростом энергии углы:
s-+oо, 1/1 ~ s62 = const, 0 ~ (| t l/sf2. (134,6)
В таком случае^ соображения размерности позволяют утверждать лишь, что суммарная степень 1/s и 1/7 в do/dt равна 2 (а в амплитуде Mfi — нулю)2). Поэтому для нахождения наименее быстро убывающей с ростом s части сечения надо выделить множитель, зависящий от 1/7 в наибольшей степени. Но такие множители возникают, лишь если фейнмановскую диаграмму можно разделить между концами /, 3 и 2, 4 на две части путем пересечения линий виртуальных частиц. Суммарный 4-импульс таких линий равен р\ — р3, от чего и возникает зависящий от t = (p 1 — рз)2 множитель. Таким образом, асимптотика диаграммы в области (134,6) зависит от характера возможных пересечений диаграммы в /-канале.
Аналогичным образом асимптотика в области
s-э-оо, | и | ~ s(jt — 0)2 = const, | п — 0 | ~ (| и l/s)'!\ (134,7)
отвечающая рассеянию на углы, близкие к я, определяется характером возможных пересечений диаграммы в и-канале (т. е. между концами /, 4 и 2, 3).
Простейший пример — рассеяние электрона на электроне, описывающееся диаграммами (73,13) и (73,14). Из них рассечение в /-канале по линии виртуального фотона допускает первая; она и определит асимптотическое поведение амплитуды рассеяния в области (134,6). Линии виртуального фотона отвечает D-функция, пропорциональная 1/7. Поэтому асимптотики амплитуды и дифференциального сечения рассеяния:
Mfioos/t, do оо dt/t2. (134,8)
*) Суммирование рядов, содержащих логарифмические поправки, может привести к экспоненциальной зависимости от логарифмов, что означает изменение показателя степенной зависимости. Это изменение, однако, мало в силу малости а.
2) Здесь предполагаем постоянное значение |^| т2. Получающиеся
таким образом результаты остаются справедливыми — в смысле зависимости от s (т. е. от энергии) —и при |^| ~ /и2.
674
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[ГЛ. XIII
’Асимптотика же в пределе (134,7) (вблизи направления назад) определяется «обменной» диаграммой (73,14); в этом пределе
Mfi оо s/u, da оо duju2.
В случае взаимного рассеяния различных частиц (электрон и мюон) обменная диаграмма отсутствует; поэтому для него сечение рассеяния на углы 0 « л убывает по закону (134,3—4)1).
Покажем, что эти результаты для асимптотики рассеяния электрона на электроне не меняются и при учете радиационных поправок. Для этого рассмотрим поправки различного рода к диаграмме (73,13).
Мы уже видели, что диаграммы, представляющие собой поправки к внутренней D-функции (см. (113,11)) или к вершинным частям (см. (117,1)), приводят лишь к логарифмическим поправкам в амплитуде; они не меняют степенной зависимости
(134,8). Покажем, что то же самое относится к диаграмме, допускающей рассечение по двум (вместо одной) внутренним фотонным линиям:
Pj
Рэ-РгЧ 1-Г Ас \* (134,9)
р* Рг~Ч Рг
Соответствующая этой диаграмме амплитуда рассеяния отличается от амплитуды, отвечающей диаграмме (73,13), заменой множителя 1/t на
(у (pi + д)) (у (Рг — д)) jj (Pi + д? (pa — д)2 д2 (рэ — pi — д)2 q
с последующим интегрированием по d*q: Существенная область интегрирования — та, которая приводит в результате к наименьшей степени 1/s. Для этого во всяком случае q должно быть мало по сравнению с р\, рг- Отбросив малые в этом смысле члены (а также члены = — перепишем это выраже-
ние как
—¦ {-УР<}(ЧР^--------- ,pq (134,10)
(Pig) (ргд) дг (Рз — pi — д)2 7 v ’
Знаменатель не будет содержать s, если q0 и qx (ось х—по направлению pi — —р2) будут оо 1 /Vs, а компоненты qy, qz могут быть оо У|/|; тогда область интегрирования col /s. Числитель же имеет порядок величины pip2°°s. Таким образом, за-
') Все эти утверждения находятся, конечно, в согласии с результатами § 81 —см. (81,11) и задачу 6.
§ 134]
АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
675
мена одной внутренней фотонной линии в диаграмме двумя не меняет ее зависимости от s (при заданном /)'). Другими словами, вклад диаграммы (134,9) в амплитуду рассеяния следует тому же асимптотическому закону (134,8), что и вклад основной диаграммы. Положение не изменится при добавлении в диаграмме еще и других параллельных внутренних фотонных линий, а также при введении поправок к внутренним электронным линиям.
Этот результат имеет общий характер: всякой диаграмме, которая может быть разрезана в ^-канале или в ы-канале на две части путем пересечения любого числа внутренних фотонных линий, отвечает вклад в амплитуду с асимптотикой соответственно MfiOOS/t при t = const или s/u при и = const (В. Г. Горшков, В. Н. Грибов, Л. Н. Липатов, Г. В. Фролов, 1967; Н. Cheng, Т. Т. Wu, 1969).
