Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 231

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 225 226 227 228 229 230 < 231 > 232 233 234 235 236 237 .. 244 >> Следующая

Случай виртуальных электронных линий
Пусть импульсы рь р2 отвечают виртуальным электронам, причем
\рЦ, |р22|>т2, (135,17)
Мы увидим, что основной областью интегрирования, приводящей к дважды логарифмическому выражению, является в этом случае область, определяемая неравенствами
О < р < \tu |, \tv I;
Pi
« I и | « 1;
p\
<|и|<1. (135,18)
Соответственно этому в знаменателе подынтегрального выражения в (135,9) можно пренебречь m2, р\, р\, f2 по сравнению с (р,/) или (р2/), так что
!' = \ 2 (рг/) ¦ 2 (p!f) (f2 + /0) • (135,19)
Для величин же (pi/), (рг/), /2 имеем
/2 = (ир, + vp2)2 — р « — tuv — р,
2 (Pi/) = 2р, (ир, + vp2) « — tv,
2 (p2f) « — /«•
Тогда
+ (135-20)
Согласно условиям (135,18) интегрирование по р производится в пределах от 0 до меньшего из |/и| или \tu\ и дает
mln{ \tu |, | tv п .
Г dp . . ( 1 1 Л { in, tuv < О,
lnml"{rb-- -RT} + { о"'
p + tuv — iO I I tt I ’ IvI J I 0, tuv > 0.
(135,21)
682
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[ГЛ. XIII
Логарифмическое же интегрирование по v производится в пределах от —1 до —| р2Д | и от j pj1/1 до 1 (и аналогично по и). При подстановке (135,21) в (135,20) интеграл по dudv от первого члена обращается в нуль ввиду нечетности подынтегральной функции. Интегрирование же второго члена производится по интервалам значений и и v одинакового (при t < 0) или различного (при t 0) знака. В обоих случаях области v >¦ 0 и v < 0 дают (после интегрирования по и) одинаковый вклад, и в результате находим (знак интеграла совпадает со знаком t).
1 1 /, = -^-2 [ -4L
21 . J . и .
dv in2 , = In t о In t 9
V t Pi Pi
(135,22)
Наконец, подставив Значение /[ в (135,11), получим окончательно
Гц(1,(р2> Рь In

q2 2 In Q2 2
P1 P2
(135,23)
1?21> |р?|> \р1\ > т2-
Случай физических электронных концов
Пусть теперь импульсы р\, р2 отвечают реальным электронам, так что
(135,24)
Р\ '
¦¦
В этом случае существенна область интегрирования
0 < р < | tu |, | tv I; 0 < | v I, 1 и | < 1.
(135,25)
Поскольку p? — m2
¦P\-
¦ m*
¦¦ 0, то пренебрегая pf и p2 no
сравнению с (pif) или (p2f), снова приводим интеграл (135,9) к виду (135,19). Для устранения появляющейся в этом случае инфракрасной расходимости надо, однако, ввести еще в фотонный пропагатор конечную массу фотона %<^tn (ср. § 117):
7‘ ^ S 2 (Plf) ¦ 2 (p2f) If2 — A2 + iO) • (135,26)
Далее, имеем
f2 — tuv — р, 2 (p,f) л* — tv + 2m2u, 2 (p2f) — tu + 2m2v,
так что /,=-
dp
du
dv
2 \t | J P + tuv + X2 — iO u — xv v — xu ’
¦ 2m2It < 1. (135,27)
§ 138] ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА ОПЕРАТОРА 683
После интегрирования по р (аналогичного (135,21)) находим
причем интегрирование производится при условии tuv + X2 < 0. Области v > 0 и v < 0 снова дают одинаковый вклад, и после интегрирования по и находим
(ы — то) (V — г и) (6 — то2) (т — v) V ’
О б/v О
(135,28)
где б = K2/t, |б|<|т| и учтено, что |т| <С 1.
В интеграле (135,28) три области значений v приводят к дважды логарифмическим выражениям:
I) | т | <С v <С 1, II) -\/б/х <С v <С | т |, III) -\Jxb <С v Vб/т.
предположения не зависит.) Делая в каждой области соответствующие пренебрежения, получаем
что совпадает с (117,21).
§ 136. Дважды логарифмическая асимптотика вершинного оператора
Когда вычисленные в предыдущем параграфе поправки Г(1) достигают значений порядка единицы, вычисление вершинного оператора требует суммирования всей бесконечной последовательности дважды логарифмических членов всех степеней по а. Решение этой задачи оказывается возможным благодаря тому, что такие члены возникают только от диаграмм определенного типа, а вклады диаграмм различного порядка оказываются связанными друг с другом простыми соотношениями.
и — то v — т и '
du dv
h
du
тб — v2
dv
(Для определенности считаем, что V^/T ^ I т I- Ответ от этого
(135,29)
Наконец, подставив в (135,11), найдем окончательно
I <721 > Р\ = р\ = tn2,
684
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[ГЛ. XIII
Именно, дважды логарифмические члены возникают, как мы убедимся ниже, от всех диагра’мм вида
I

(136,1)
А Р,
и т. п., в которых каждая из фотонных линий соединяет правую и левую электронные линии; при этом они могут любым образом пересекаться друг с другом.
Перенумеруем фотонные импульсы fi, f2, ... в порядке следования, скажем, правых концов их линий. Тогда различные диаграммы одинакового порядка будут отличаться друг от друга перестановкой левых концов фотонных линий. В каждом интеграле Фейнмана производим пренебрежения в числителе и знаменателе, подобные тем, которые были сделаны в интеграле
(135,5); после этого числитель преобразуем тем же способом, что и при выводе (135,11). В результате сумма всех диаграмм с п фотонными линиями, составляющая член ~ап в Г, представится в виде
ТМа) = \* (¦?-*)* 1п, (136,2)
/„ =
_ у» Г_____________________________d‘U ¦¦¦ d'fn___________________
~ Z_f J 2{pifi) - 2(Pifi+Pifa) . .. 2(pifi + ...+p>f )2{p1fl)...2(p4l+ ... + p4n) I ill--In ’
nep 2
(136,3)
где сумма берется по всем перестановкам индексов у импульсов fk в произведениях (ргЫ (члены Ю и X2 в знаменателях для краткости не выписываем).
Предыдущая << 1 .. 225 226 227 228 229 230 < 231 > 232 233 234 235 236 237 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed