Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
В качестве другого примера рассмотрим комптоновское рассеяние, описываемое двумя диаграммами (74,14). Эти диаграммы не допускают рассечения в ^-канале, но вторая из них рассекается в ы-канале по внутренней электронной линии; в обозначениях этого параграфа она имеет вид
?_____
РГР4 (134,11)
Рз Рг
Это значит, что рассеяние сосредоточено в основном вблизи направления назад (как это уже было отмечено в конце § 86; см. (86,20)). Для нахождения асимптотики в этой области замечаем, что множитель G, отвечающий внутренней линии диаграммы (134,11), имеет порядок величины l/у (р\ — Pi) 00 l/Vl и I• Поэтому амплитуда рассеяния Mfi оо a (s/ \ и |)|/г; в нее введен множитель а в соответствии с тем, что диаграмма (134,10) — второго порядка. Отсюда дифференциальное сечение: do/du$о: ooa2/|«|s. Интеграл этого выражения по |ы| определяется областью значений |ы|<^5. В результате полное сечение убывает с ростом энергии по закону a со a2/s (точнее, а оо (a2/s) In (s/m2); ср. (86,20) )2).
’) Снова напомним, что речь идет только о степенных асимптотиках, и потому'можно не обращать внимания, на логарифмические расходимости при интегрировании. Мы вернемся к более подробному исследованию диаграмм вида (134,9) в § 137.
2) Точный вид зависимости сечения от \и\ или \t\ при их значениях т2, разумеется, не может быть выяснен на основании излагаемых соображений. Подразумевается, что интеграл по \и\ (или по |^|) сходится на значениях ~т2. Это действительно так для всех процессов, за исключением упругого рассеяния заряженных частиц.
676
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
(ГЛ. XIII
Но для этого процесса радиационные поправки меняют асимптотику. Изменение возникает за счет диаграмм шестого порядка типа
Рз
•*—
Pi
(134,12)
А
Они допускают в /-канале рассечение по двум внутренним фотонным линиям и потому дают вклад в амплитуду с асимптотикой Mfiooa^s/t-, множитель а3 отвечает шестому порядку диаграммы. При достаточно больших s эта часть амплитуды становится основной и тогда дифференциальное сечение
do/dt оо a6/t2.
Интеграл этого выражения по t определяется областью малых значений |г|~/л2, т. е. областью углов рассеяния 0~/n/Vs (обратим внимание на то, что рассеяние происходит теперь в основном в направлении вперед, а не назад). В результате полное сечение перестает убывать с энергией;
а м а6/т2 = а1/^. (134,13)
Убывающая часть сечения сравнивается с этой его постоянной частью при e = Vs 00 rnla2.
Аналогичная ситуация имеет место для рассеяния света на свете. В первом неисчезающем приближении оно описывается «квадратными» диаграммами (127,1), которые могут быть рассечены по двум внутренним электронным линиям. По 4-импуль-су этих линий в диаграмме производится интегрирование, причем существенны импульсы ~VS> и малые значения t (или и) ничем не выделены. Поэтому асимптотика этих диаграмм при любом / = const (или и = const) дается законом (134,5): Мц = = constooa2. При этом полное сечение убывает с ростом энергии: crooa4/s (ср. (127,23)); углы, близкие к нулю или к я, здесь никак не выделены. Но в восьмом порядке появляются диаграммы, допускающие рассечение (в t- или в ы-канале) по
§ 135]
ВЫДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧЛЕНОВ
677
двум внутренним фотонным линиям, например
—
г*- —
(134,14)
к--
Эти диаграммы приводят к постоянной асимптотике сечения:
Постоянная асимптотика для полного сечения — характерное свойство процессов рассеяния, диаграммы которых рассекаются (в t- или в ц-канале) по внутренним фотонным линиям. Это свойство имеет место и в тех случаях, когда в конечном состоянии реакции возникает более двух частиц.
§ 135. Выделение дважды логарифмических членов
в вершинном операторе
Поправки вида (oc,L)n (L — большой логарифм) могут стать существенными, как уже было отмечено в конце § 133, лишь при фантастически высоких энергиях и потому имеют только теоретическое значение. Но в амплитудах реальных процессов рассеяния возникают также и гораздо большие поправки — вида (aL2)n. Такие члены, содержащие по квадрату логарифма на каждую степень а, называют дважды логарифмическими.
Характерным параметром разложения в дважды логарифмических поправках является величина
где е — фигурирующие в задаче энергии (скажем, суммарная энергия сталкивающихся частиц в системе их центра инерции). Условие применимости теории возмущений требует малости этой величины; оно нарушается при энергиях
') Сечение когерентного рассеяния фотона в поле ядра имеет постоянную асимптотику уже в первом неисчезающем приближении, описываемом «квадратными» диаграммами, два из концов которых — линии внешнего поля (см. (128,7)). В действительности, однако, эти диаграммы должны были бы изображаться в виде (134,12), где верхняя сплошная линия была бы линией ядра. Линии внешнего поля становятся тогда внутренними линиями диаграммы и происхождение постоянной асимптотики становится очевидным.
оооаа/т2 при Vs т/а2 *)•
(135,1)
(135,2)
678
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[ГЛ. Х1П
Поставим себе целью освободиться от этого условия и получить формулы, применимые при условии
Ясно, что это потребует суммирования бесконечного ряда поправок всех степеней (а Ь2)п.
