Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что если переставить в сумме (136,3) каким-либо образом индексы у множителей fk в произведениях (p\fk), то это сведется лишь к переобозначению импульсов и потому не изменит значения 1п. Поэтому можно распространить суммирование в (136,3) по всем перестановкам множителей fk как в произведениях (ргЫ> так и в (PiM* разделив после этого результат на п\.
Воспользуемся теперь важной формулой
_________________!___________________! L ,,. —L (136 4)
а1 (а1 4" а2) • • • (а1 4" 02 + ... + On) Oi 02 Оп '
пер
§ 136] ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА ОПЕРАТОРА 685
где сумма берется по перестановкам индексов 1, 2, /г1).
Двукратное применение этой формулы сводит сумму интегралов к произведению п одинаковых интегралов вида (135,19) (или (135,26)), так что
1п = П1п\. (136,5)
Подставив это в (136,2) и просуммировав Г(п> по всем п = 0, 1, 2,..., получим окончательно
^(Р2, Рй <7) = Yllexp(-gjr//1). (136,6)
В частности, подставив сюда 1\ из (135,22), получим дважды логарифмическую асимптотику вершинного оператора с виртуальными электронными концами
?11, <136’7>
Г^(р2, Рй q) = Y^exp | — -^-ln
( 2л
а , q2 1п
1п о
2я Pl
P2
\q2\» \p\\, \p\ \ » rn2
'(В. В. Судаков, 1956).
Подставив же h из (135,29), найдем асимптотику для вершинного оператора в случае реальных электронных концов:
гЧР2, Рй ?) = Y"exp{-^(ln2-J|^ + 41n^lnf)}, (136,8)
\q*\^ р\ = р\ = т2.
Множитель, отличающий Гм от его невозмущенного значения у11, определяет также и отличие амплитуды рассеяния электрона во внешнем поле от ее борновского значения. Поэтому сечение рассеяния
do = doB ехр | — (in2 Ж^ + 4 1п 1п х) }- (136>9)
Для устранения инфракрасной расходимости надо, однако, еще умножить это выражение на сумму вероятностей испускания различного числа мягких фотонов с энергией, не превышающей некоторого малого сотах, т. е. на величину (см. (122,2))
“max “max “шах f “max "j
1 + ^ dwa + -jjp ^ dwWl ^ dwm + ... = exp | ^ dwa f.
О О и '•O''
(136,10)
•) При n = 2 эта формула очевидна, а ее обобщение легко достигается индукцией от п к п + 1,
686
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
(ГЛ. XIII
Интеграл в экспоненте берем из (120,14) (выражение, стоящее множителем при doynJ>) и в результате находим окончательно следующую асимптотическую формулу для сечения рассеяния электрона с энергией е при большой передаче импульса:
(А. А. Абрикосов, 1956). Первый (по а) член разложения этого выражения совпадает, естественно, с формулой (122,12).
Обратим внимание на то обстоятельство, что если положить Ютах ~ е, то один из логарифмов в (136,11) становится порядка единицы; другими словами, дважды логарифмические поправки сокращаются, если рассматривать сечение с одновременным испусканием фотонов любых энергий1). В принятом приближении экспоненциальный множитель в (136,11) обращается тогда в единицу, так что сечение оказывается совпадающим с борцовским— в соответствии с общим утверждением в конце § 98.
§ 137. Дважды логарифмическая асимптотика амплитуды
рассеяния электрона на мюоне
В качестве примера другого рода рассмотрим рассеяние электрона на отрицательном мюоне, причем ограничимся случаем рассеяния строго назад, т. е. на угол 8 — я (В. Г. Горшков, В. Н. Грибов, Л. Н, Липатов, Г. В. Фролов, 1967). Этот процесс является простейшим с двух точек зрения. Во-первых, ввиду нетождественности обеих частиц отсутствуют обменные диаграммы. Во-вторых, при рассеянии назад сильно подавлено излучение мягких фотонов, в результате чего не возникает инфракрасной расходимости. Действительно, согласно (98,8) сечение испускания мягких фотонов
где ve, и v', — скорости частиц до и после столкновения.
Но в ультрарелятивистском случае равенство импульсов равнозначно равенству скоростей, и с этой точностью имеем в системе
*) При рассеянии на конечный угол сформулированное в § 98 условие мягкости фотона требует только, чтобы было шШах С е, что позволяет с логарифмической точностью применять полученные здесь формулы и при
СОшах '"ч/ 6.
da = daBexP{--|- 1ПIn-^ }, (136,11)
k2l»m2, In2 ~ 1
V
е
)-]
(137,1)
§137] ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ 687
центра инерции при рассеянии назад \е — — = — v' — v'.
В результате выражение (137,1) обращается в нуль.
Если рассматриваемый процесс рассеяния отвечает s-каналу реакции, то в ^-канале он переходит в процесс превращения электрон-позитронной пары в пару ц+ц-. В этом канале условие 0 = я означает, что совпадают направления движения е~ и ц-(и е+ и ц+). Подавление тормозного излучения в этом канале имеет особенно наглядный смысл, так как направление движения заряда каждого знака вообще не меняется.
Взаимное сокращение главных членов в сечении излучения приводит к тому, что в его асимптотике не возникают дважды логарифмические поправки. Соответственно не возникает (с той же дважды логарифмической точностью) инфракрасной расходимости и при интегрировании по импульсам виртуальных фотонов в амплитуде рассеяния.
Если описывать процесс с помощью инвариантных переменных s = (ре + pj2, t^=(pe — р')2, и = (ре — р^)2, то рассеянию назад в ультрарелятивистском случае будут отвечать значения s — — t^>m2, и — 0. (137,2)
