Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Дважды логарифмические поправки возникают в двух категориях случаев. К одной из них относятся процессы рассеяния на фиксированный конечный угол; их сечения (как мы видели в предыдущем параграфе) всегда падают в асимптотической области высоких энергий. Дважды логарифмические поправки в этих случаях тесно связаны с инфракрасной расходимостью. Сюда относится, в частности, упругое рассеяние электрона во внешнем кулоновом поле; в § 122 была найдена первая дважды логарифмическая поправка к его сечению.* Полному определению этих поправок при условии (135,3) посвящены этот и следующий параграфы.
К другой категории относятся убывающие с ростом энергии сечения реакций при заданном квадрате передачи импульса, т. е. для углов, асимптотически приближающихся к нулю или к я; как было показано в предыдущем параграфе, это имеет место для процессов, диаграммы которых не могут быть рассечены в t- или в и-канале по внутренним фотонным линиям. В этом случае дважды логарифмические поправки не связаны с инфракрасной расходимостью. В качестве такого рода примера в § 137 будет рассмотрено электрон-мюонное рассеяние назад, т. е. при и = const.
Отметим прежде всего, что при условии (135,3) однологарифмические поправки
и потому могут быть опущены. Поскольку в $ и 3) дважды логарифмические поправки вообще отсутствуют, эти функции можно полагать теперь равными просто их невозмущенным значениям G и D.
Вычисление же вершинного оператора Г требует суммирования дважды логарифмических членов, возникающих из бесконечного ряда диаграмм. Этой задаче посвящен следующий параграф. Предварительно же изложим метод, позволяющий выделять дважды логарифмические члены из отдельных интегралов Фейнмана до фактического проведения в них интегрирования по всем переменным (В. В. Судаков, 1956).
Рассмотрим поправку первого (по а) порядка к вершинному оператору, изображаемому диаграммой (117,1), которую удобно
§ 1351 ВЫДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧЛЕНОВ 679
изобразить здесь (переобозначив переменные) в виде
(135,4)
или, аналитически,
ГИ1,(Р2> Pi! ?) =
_ [ Vv (VP2 - yf + от) Y11 (VPi — Yf + m) yvd4f цос ev
4я3 J [(pt - f)2 - m2 + iO] [(p, - /)2 - m2 + iO] [f2 + iO] ' U
Будем предполагать, что
|<72 |>р2, р2, т2, (135,6)
причем концы р\, р2 могут быть как физическими, так и виртуальными. Из (135,6) следует, что
| PiP21 ~ ‘/г I <721 » Рр Рг. т2> (135,7)
т. е. 4-векторы р2 имеют большие компоненты при малых квадратах — ситуация, возможная в силу псевдоевклидовости четырехмерной метрики. Дважды логарифмические члены возникают именно при условиях (135,6).
Мы увидим в дальнейшем, что при интегрировании по d4f будут существенны относительно малые значения f. Поэтому можно пренебречь f в числителе подынтегрального выражения, после чего Г(1> приобретает вид
ГИ1) = — ^з-Yv (YP2 + т) у11 (YPi + rn)yJi, (135,8)
где
7l = S [(Р2 - f)2 - т2 + Ю] [(Pi - f)2 - от2 + *'0] If2 + Щ ‘ (135,9)
Матричный множитель в (135,8) можно упростить, если
учесть, что Г всегда входит в диаграммы, по существу, умноженным на матрицы (ур2-\-т) и (ур\ т)\
(VP2 + т) Г (yPi + т). (135,10)
Действительно, если линии р\ и р2 виртуальные, то эти множители происходят от G(pi) и G(p2)\ если же линии отвечают
реальным электронам, то Г умножается на й2 и щ, причем в
680 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. XIII
силу уравнений Дирака имеем
- - УРч + т _ ур\ + т
2т ’ 2т М> ‘
Переставляя порядок матричных множителей и пренебрегая каждый раз, согласно условию (135,7), возникающими квадратами р\, р\, т2 по сравнению с (pxp2), получаем
(¦\р2 + т) Гй (М (vpi + т) — -^з- (р,р2) (ур2 + «) Y1* (YPi + т) 1и
Поэтому окончательно можно представить Г(1) в виде
ie2 ~2я?
рм.(1) __ 2L_y^/i, (135,11)
где
t = qi ~-2{рхр2). (135,12)
Отметим, что интеграл Л сходится при больший / и потому уже не требует регуляризации.
Основной пункт дальнейших вычислений — введение новых, более удобных переменных интегрирования.
Разобьем / на составляющие, тангенциальные и нормальные по отношению к плоскости ри р2:
/ = «P1 + WP2 + /X = /II + /X, (135,13)
/±Р\ == f ±Р2 ~= °* (135,14)
В качестве же новых переменных выберем коэффициенты к, о и величину
Р = -/!• (135,15)
Из условий (135,7) видно, что метрика в плоскости р\, р2, псев-
доевклидова. Поэтому временную ось можно выбрать в этой
плоскости, так что f± — пространственноподобный 4-вектор и р > 0.
Обозначим временно индексами 0, х компоненты 4-векторов в плоскости рь р2, а индексами у, z—компоненты в нормальной
плоскости. Для преобразования элемента 4-объема d4/ =
= d2f±d2f\\ к новым переменным пишем
d2f± = | f± | d J f ± | dqp = l/2 dp d(f -> я dp
(имея в виду, что подынтегральное выражение в (135,9) не зависит от угла ф). Далее,
d2h = "Vlu, [Х) dudv==\ Р10Р2х — Р20Р1Х \dudv ~^\q2\dudv.
§ 135] ВЫДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧЛЕНОВ 681
Действительно, ввиду малости квадрата р\ имеем р\х ~ р20, и поэтому
(PloPlx — Р2йР\х? ~ (Р10Р20 — Р2хР\х? = (P\Pif = (?2/2)2.
Таким образом,
d4f = ^\t I dudvd2f± —>¦ 111 du dv dp. (135,16)
Дальнейшие вычисления зависят от соотношения между величинами р2, р\, т2. Рассмотрим два случая.
