Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
В то же время следует подчеркнуть, что в квантовой электродинамике описанные трудности могут иметь лишь чисто теоретическое значение. Они возникают при фантастически огромных энергиях, не представляющих никакого реального интереса !). Можно ожидать, что в действительности уже несравненно раньше электромагнитные взаимодействия «запутываются» со слабыми и сильными взаимодействиями, в результате чего чистая электродинамика теряет смысл 2).
В заключение этого параграфа покажем, каким образом формулы (133,3—4) могут быть получены с помощью простых рассуждений, основанных на смысле понятия перенормировки и на соображениях размерности (М. Gell-Mann, F. Low, 1954).
Рассмотрим квадрат затравочного заряда как функцию параметра обрезания, е2(А2), и введем функцию d, определяющую соотношение между значениями е2с при двух различных значениях ее аргумента: е2с (A;;) = е2с (A2) d. При А2, tn2
функция d не зависит от т; будучи безразмерной величиной,
!) Так, равенство (а/я)1п(е2/т2) = 1 достигается при 8 ~ 10тт.
2) Противоположная ситуация имеет место в теориях, в которых взаимодействие между частицами осуществляется не электромагнитным полем, а так называемыми полями Янга. — Миллса. Связь перенормированного заряда с затравочным в таких теориях дается формулой типа (133,4), но с обратным знаком в знаменателе, так что при заданном значении е затравочный заряд ес уменьшается с ростом А. Такое свойство теории называют асимптотической свободой. Разумеется, теория с асимптотической свободой принципиально отличается от теории с нулификацией заряда.
§ 133] СВЯЗЬ МЕЖДУ «ЗАТРАВОЧНЫМ» И ИСТИННЫМ ЗАРЯДАМИ 671
она может быть функцией только безразмерных же величин
е
l(Af) и АЦА\:
; (А|) = ^ (л;) d(Af), ^-). (133,6)
От этого функционального соотношения можно перейти к дифференциальному уравнению. Для этого напишем равенство (133,6) для бесконечно близких значений А.\ и Л|. Обозначив = ? и положив Л| = ? + dl, получим для функции ас (?) = е2 (Л2) следующее дифференциальное уравнение:
dac = q>(ac) (133,7)
Здесь введено обозначение
ф fa) = 0^[-**?* Х) (133,8)
и учтено, что, по определению (133,6), d(ac, 1)=1. Интегрируя уравнение (133,7) в пределах от Е = Л2 до ? = Л|, получаем
2
А% Г da
1п ТГ — \ —(133,9)
Al 2 / * 2\ ес (Al)
Во всей области интегрирования е2 мало. Поэтому можно воспользоваться для ф(х) выражением, отвечающим первому приближению теории возмущений. Поправка к затравочному заряду, е\, дается величиной e?ck2<? (k2). Взяв для поляризационного оператора его первое приближение (132,1), найдем
< / ^-2 \ _ . . ас 1 ^2 , ас
A2 ) + Зя 1П А2 ’ ф(ас)_^’
после чего интегрирование в (133,9) приводит к результату
^lnIf = 4{Ц) ~ 4Щ• (133’10)
При ±\\—>~т2 затравочный заряд ес (Л2) стремится к истинному заряду е, и тогда (133,10) совпадает с (133,3—4)]).
*) Систематическое развитие метода, основанного на использовании
функциональных свойств пропараторов и вершинных частей (так называемый метод ренормализационной группы), дано в книге: Боголюбов Н. Н., [Цирков Д. В. Введение в теорию квантованных полей,—М.: Наука, 1984,
I
672 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. хш
§ 134. Асимптотическое поведение амплитуд рассеяния
при высоких энергиях
Рассмотрим вопрос об асимптотическом (при высоких энергиях) поведении амплитуд и сечений двухчастичных процессов рассеяния (1 + 2-*- 3 + 4). Для основных электродинамических процессов в первом (по а) неисчезающем приближении ответ на этот вопрос может быть найден исходя из полученных в предыдущих главах конкретных формул, справедливых при любых энергиях. Здесь, однако, мы рассмотрим этот вопрос с более общей точки зрения, которая позволит находить такие асимптотики прямым способом.
Как и в § 66, введем инвариантные переменные
s = (pl + p2)2, t = (pv— рз)2, и = (р1 — р4)2 (134,1)
(причем pi + рг = рз + р4); обозначения соответствуют реакциям в s-канале, которые мы и будем рассматривать. В ультрарелятивистском случае, когда энергии много' больше масс частиц, в системе центра инерции энергии обеих частиц приближенно одинаковы. Обозначив посредством е сумму энергий сталкивающихся частиц, получим в этой системе pi = (е/2, pi), р2 = (е/2, —Pl), Рз = (е/2, р3), р4 = (е/2, — р3), р] = р] = е2/4, и тогда
s = e2, t = — у(1 — cos0), и=—|-(l+cos0), (134,2)
где 0 — угол между pi и р3.
Рассмотрим сначала асимптотику сечения реакции при некотором фиксированном значении угла рассеяния 0. Тогда все три переменные s, t, и пропорциональны друг другу и устремляются к бесконечности вместе. В ультрарелятивистском случае массы частиц не могут войти в ответ, и единственной величиной размерности длины является 1 /е( = Нс/е) . Поэтому уже из соображений размерности следует, что дифференциальное сечение двухчастичных реакций уменьшается с ростом энергии по асимптотическому закону
da/do со 1/s при s, Щ |и|->оо. (134,3)
Если относить сечение не к элементу телесного угла do, а к диф-
ференциалу dt, то (поскольку do со dt/s)
cfor/cfz1 оо 1/s2. (134,4)
Сечение выражается через амплитуду рассеяния (в ультрарелятивистском случае) как da/do oo\Mfi\2/s — см. (64,22—23). Поэтому закон (134,3) означает, что в асимптотическом пределе амплитуда рассеяния не зависит от s:
