Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
4jc
(P Pi) = SkV (p ___ p^2 '
и в интеграле существенна область р2 р2, в которой он логарифмически расходится. Вычислив интеграл
г»1‘| . Wrrf yNvpiIvNypiIYj (Iinim
Г -------Щ----------<>32,10)
') Во избежание недоразумений при сравнении с результатами § 117 напомним, что в § 117 оба электронных конца диаграммы предполагались физическими, между тем как здесь предполагается р 3> |й2| 3> m2, т. е. обе линии заведомо не физические.
§ 132] ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР ПРИ БОЛЬШИХ ИМПУЛЬСАХ 667
и регуляризовав логарифм, получим
4--
4л ' mz
В калибровке же Ландау вместо (132,10) получим интеграл
Ш W S {Y* (УPi) V* (УPi) ^ - рУ} (р2)^2л?'-
Произведя усреднение по направлениям р\ и приведение матриц 7, найдем, что этот интеграл обращается в нуль, так что логарифмический член в Г11*1) выпадает1).
В поправках второго (по а) порядка рассмотрим диаграмму
J к=0
Соответствующий интеграл:
Г,л<2) = - a2 J (р2) yvG (Pl) у«*0 (Pl) YpG (р2) у° X
X (р2 - Pl) DXa (р - р2) .
При обычной калибровке D-функций этот интеграл содержит член с квадратом логарифма, происходящий от области интегрирования
р2»р2»р2. (132,11)
Действительно, после пренебрежения р2 в аргументе функции D\(>(P2 — Pi) интегрирование по d4p\ становится таким же, как в (132,9), и дает In pf, последующее же интегрирование по
d*p2 снова имеет логарифмический характер и приводит к квад-
рату \т\2(рЦт2). При выборе же для ?)-функций калибровки Ландау при обоих интегрированиях логарифмические члены выпадают.
’) Поправки к G-1 в обеих калибровках, найденные из поправки Г(|) с помощью тождества (108,8), согласуются, конечно, с результатами § 119.
668
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[ГЛ. XIII
Такая же ситуация имеет место для всех других диаграмм, входящих в скелетную диаграмму
I
I
А
(132,12)
Диаграммы же других типов, с пересекающимися фотонными линиями, например, входящие в скелетную диаграмму
I
(131,13)
А
(ср. (106,11)), вообще не содержат членов с нужной степенью логарифма ни в какой калибровке (в них нельзя выделить такую область значений переменных, в которой интеграл сводился бы к нескольким последовательным логарифмическим интегрированиям).
Эти рассуждения (и аналогичные для следующих членов разложения Г по степеням k) подтверждают, что в калибровке Ландау не возникает поправок к S’ и Г с нужными степенями логарифма, так что выражение (132,1) действительно справедливо и при условии (132,3).
Функция ZD(k2), соответствующая поляризационному оператору (132,1), имеет вид
^2)='^1-^11пЖ‘ (132Д4)
Зя т2
В силу условия (132,3) разлагать это выражение по степеням а нет необходимости.
§ 133. Связь между «затравочным» и истинным зарядами
Применимость формулы (132,14) ограничена, однако, со стороны больших \k2\ в связи с уменьшением ее знаменателя. Действительно, вывод этой формулы основан на пренебрежении диаграммой (132,13) (и другими, с еще большим числом жирных фотонных линий) по сравнению с диаграммой (132,12). Но добавление каждой такой линии привносит в диаграмму множитель е22) с точным пропагатором 2D. При этом роль малого
§ 133] СВЯЗЬ МЕЖДУ «ЗАТРАВОЧНЫМ» И ИСТИННЫМ ЗАРЯДАМИ 669
параметра играет, вместо а = е2, величина
а
1-^-1»161
« I. (133,1)
Зл т
Когда, по мере возрастания \k2\, эта величина по порядку сравнивается с единицей, из теории, по существу, вообще исчезает малый параметр.
Возникающую ситуацию можно понять более ясно, если при выводе (132,14) производить перенормировку не «на ходу», а путем предварительного введения «затравочного» заряда электрона ес, который в дальнейшем подбирается так, чтобы привести к правильному наблюдаемому значению физического заряда е (см. § 110). Если интеграл «обрезается», как это было сделано выше, на вспомогательном верхнем пределе Л2, то затравочный заряд будет его функцией, ес = ес(А2), и в заключение должен быть произведен переход к пределу Л->-оо.
При таком способе подхода к задаче поляризационный оператор будет
-2 Л2
?{k2) = -^-k2\n Tk2y
^выражение (132,8) с ес вместо е), и соответственно
4л ~?
1 + In
Зл | к2 |
Определив теперь физический заряд е согласно условию e2J3) (k2) —*¦ е2, k2 —*¦ ~ т2,
получим
или
4я J k2->~m2,
е2 =------4----~ > (133>3)
Л
Зл т.2
1 + -гг- In -j-
1 — -и*
р2 Л 2
1 - 4-1п -^т
Зя тг
(133,4)
Если формально перейти в (133,3) к пределу Л-»-оо, то е2->-0 независимо от вида функции е2 (Л). Такая «нулификация» заряда означает, разумеется, невозможность строгого проведения перенормировки. Этот переход к пределу нельзя, однако, произвести, не нарушив предположений, сделанных при выводе 133,3). Из (133,4) видно, что по мере увеличения Л (при задан-
670
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[ГЛ. XIII
ном значении е2) е\ растет; но уже при е\ ~ 1 формулы теряют свою применимость, поскольку их -вывод основан на предположении
1 (133,5)
как условии применимости теории возмущений к «затравочному» взаимодействию. Нарушение неравенства (133,5) при увеличении А имеет важное принципиальное значение. Оно означает логическую неполноту квантовой электродинамики как теории со слабым взаимодействием. По существу это означает логическую неполноту имеющейся теории вообще. Действительно, ее аппарат связан именно с возможностью рассматривать электромагнитное взаимодействие как слабое возмущение. Все вычисляемые величины получаются в теории в виде рядов по степеням е2, причем эти ряды являются в действительности асимптотическими. Для придания этим рядам определенного смысла при не малых значениях е2, во всякЪм случае, требовались бы дополнительные соображения, не следующие из общих принципов существующей теории.
