Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 233

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 227 228 229 230 231 232 < 233 > 234 235 236 237 238 239 .. 244 >> Следующая

В первом (по а) приближении теории возмущений рассеяние электрона на мюоне описывается диаграммой
Рв
<-
’Рв
ре-р' (137,3)
Р/L*-----------------------Р/1
Соответствующая амплитуда:
Mf/ = (й<*ГучиМ) (a<‘rYvu<‘))' (137,4)
Переход к предельному случаю (137,2) в этом выражении осуществляется заменой матричного 4-вектора yv его «проекцией» y^ на плоскость, нормальную плоскости ре, р'е (или, что то же, плоскости рц, р' поскольку при ультрарелятивистском рассеянии назад ре «а р', р'е г» р ). Действительно, параллельными плоскости ре, р'е составляющими являются матрицы
•JfiVPe + Vti). (У Ре~ У Р'е)
(первая совпадает с у0, а вторая равна пйу, где пе — орт направ ления рв). Используя уравнения Дирака для биспиноров и(в и Ф-\ находим, что (u^'y^uM) (u(e) Yv(|u(e)) ~ 1/s, и потому эти члены могут быть опущены.
688 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. XIII
В следующем приближении добавляются диаграмма
f
Р'в-*-----Г--------Г*
f-Pe 1 \Pe-f (137,5)
L_______L
W------a.
P»*PfT
и диаграмма с «перекрещенными» фотонными линиями, которую удобно изобразить в виде, отличающемся от (137,5) лишь направлением одной из сплошных линий:
-------г*----------г---------------ре
f-P’e j I Ps-f (137,6)
H-
Исследование соответствующих интегралов показывает, что в обеих диаграммах возникают дважды логарифмические вклады от областей мягких виртуальных фотонов: | (/ — pef | <С т
или | (/ — р')2 ] <С т2. Эти вклады связаны с инфракрасными расходимостями интегралов и, согласно сказанному выше, в данном случае заведомо должны взаимно сокращаться. -В диаграмме (137,6) имеется, однако, дважды логарифмический вклад еще и от области больших импульсов: | /21 яг2. Именно этот вклад и должен быть вычислен.
Диаграмме (137,6) отвечает интеграл
„,(2) 1'“2 f (“(eV(vf + me)v^(e>)(“(li)v4vH-m(i)vvu(|i)) 4
ft ~ ' {р. - /)2 (/2 - «2) {? - О {Ре - О2
(137,7)
где уже учтено, что ре р'. Положим снова
/ = ире+ vp'e + /х (137,8)
(ср. (135,13)). Дважды логарифмический вклад возникает от области, определяемой неравенствами
| su |, | sv | > р > m2; m2/s < | «|, | и | < 1, (137,9)
где р = — f2 В (137,8) 4-вектор fх определен так, что fxpe — = f р' = 0; в данном случае (рассеяние назад) отсюда следует, что в системе центра инерции f° = 0, так что р = f2±.
В числителе интеграла (137,7) можно пренебречь те, тц, а также всеми членами с и или и; множители и или v в числи-
§ 137] ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ 689
теле сокращают соответствующие полюсы в знаменателе (см. ниже), в результате чего не возникают требуемые квадраты логарифмов. Замечая, что (р'е—/)2 tu ^ —su, (ре — /)2 ~ — sv, /2« ^suv — р, и преобразуя элемент интегрирования d4f согласно (135,16), переписываем интеграл (137,7) в виде
(2) га2 С (uieryv(yf1)yluie))(a{'x)\l(yf1)yyluW)
' ..........................................................±'
к) _ _ * t (*’" у’ <ч> *¦") c-v w м"),
2я‘! J su' sv (suv — р + гО)2 1
Числитель подынтегрального выражения преобразуется далее путем усреднения по направлению fj. и замены (по тем же причинам, что и в (137,4)) yv, Y*' на yv±, После простых преобразований получим
Mg-W". 'т=-‘М,*Си-Лт’- “37’10>
Наконец, заменив в числителе тождественно р = (р — suw)-f-’ + suv, можно опустить второй член, который сократил бы простые полюсы и тем самым не дал бы дважды логарифмического вклада. Таким образом,
= — dudvdp (137,11)
Ал2 J uv (р — suv — 10) \ /
Этот интеграл по форме совпадает с (135,20), поэтому интегрирование по р производится тем же способом. Однако поскольку теперь р >¦ /п2, возникает условие suv /п2 (вместо suv > 0). В результате находим
(137’12)
причем область интегрирования ограничена неравенствами m2Js<u, v < 1, suv > /п2
(при вычислении с логарифмической точностью сильные неравенства заменяются простыми неравенствами >). Прямое вычисление дает
а ,__9 5
Ап
В более высоких приближениях теории возмущений интересующие нас вклады ~an\n2ns получаются от аналогичных
(137,6) диаграмм «лестничного» типа с большим числом «перекладин». Поэтому полная дважды логарифмическая асимптотика
690 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. XIII
амплитуды рассеяния дается бесконечной суммой
Рв~*—Г*—Рв —г*—г*---- —-i<- |<—г*—
iMn = , + I ! + ! ! ! -t.
Pjt—*J *-Pf, —*д—^—> —»' ¦>¦ >' >¦
(137,14)
Для установления общего вида членов этой суммы рассмотрим еще диаграмму третьего приближения (третий член ряда 137,14)). Соответствующий ей интеграл можно привести к виду
<137-15>
с областью интегрирования
m2Js < ии2, vU2< 1, su2v2 > m2.
Дважды логарифмическую часть этого интеграла можно выделить, наложив на переменные интегрирования еще условия
v2 > vlt и2 > «1. (137,16)
Тогда
/(2)
где l{ — In г], = — In v{, а область интегрирования
определена неравенствами
ij > Лр Ъ2 > Tb'> o' > |2, ri2 > 0; а = In (s/m2).
Аналогичным образом ti-й член ряда может быть представлен в виде М\Т = М\liJ(n), где
JW (°)= Ыг)" S dTl»> <137’ 17>
с областью интегрирования
h>*\i (»'=1, 2, п), <т>|„, ri„>0. (137,18)
Полная амплитуда рассеяния равна
мп = м%)\\ + ?/%)]. (137>19)
Предыдущая << 1 .. 227 228 229 230 231 232 < 233 > 234 235 236 237 238 239 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed