Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
XV
точки 393. 5. Дальнейшие замечания относительно возрастания собственных •значений. Случай, когда имеются отрицательные собственные значения 394. 6. Свойства непрерывности собственных значений 396.
§ 3. Теорема о полноте системы собственных функції й и теоремао разложении............402
1. Полнота системы собственных функций 402. 2. Теорема о разложении 404. 3. Обобщение теоремы о разложении 405.
§4. Асимптотическое распределение собственных значений.....................407
1. Диференциальное уравнение Au 4- Хн = 0 для прямоугольника 407. 2. Диференциальное уравнение Au + Ia = 0 для областей, состоящих из конечного числа квадратов или кубов 409. 3. Распространение полученного результата на общее диференциальное уравнение /.[н] + >ры=0 412. 4. Законы асимптотического распределения собственных значений для произвольной области 414. 5. Законы асимптотического распределения собственных значений диференциального уравнения Ди -+- Iu = 0 в уточненной форме 421,
§5.3адачи о собственных значениях шрёдинге-
ровскоготнпа.....................423
§6. Узлы соб'сїбенньїх функций . .*.......429
§7. Дополнення и-задачи- к шестой главе .... 434
1. Вывод минимальных свойств собственных значений из их полноты 434.
2. Отсутствие нулей у первой собственной функции 436. 3. Другие минимальные свойства собственных значений 437. 4. Асимптотическое распределение собственных значений для случая колебания пластинки 438. 5 — 7. Задачи 438. 8. Задачи с граничными условиями, содержащими параметр X 438.
9. Задачи о собственных значениях для замкнутых поверхностей 439.
10. Оценка собственных значений в случае наличия особых точек 439.
11. Минимальное свойство круглой мембраны или пластинки 441. 12. Проблема минимума для случая неравномерного распределения масс 441. 13. Узловые точки для задачи Штурм-Лиувилля и принцип максимума минимумов 442. Литература к гл. VI 443.
Глава VII.
Специальные функции, к которым приводят задачи о
СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ.
§ !.Предварительные замечания относительно линейных дифереициальных уравнений второго порядка ..........................444
§2. Функции Бесселя................445
1. Интегральное преобразование 446. 2. Функции Ганкеля 447. 3. Бесселевы функции и функции Неймана 448. 4. Выражение бесселевых функций в виде интегралов 451. 5. Другое выражение функций Гайкеля и бесселевых функций в виде интегралов 454. 6. Разложение бесселевых функций в степенные ряды 460. 7. Соотношения между бесселевыми функциями 463. 8. Нули бесселевых функций 469. 9. Функции Неймана 473.
§3. Шаровые функции Лежандра ......... 477
1. Интеграл Шлёфли 477. 2. Интегральные выражения Лапласа 479.
3. Функции Лежандра второго рода 480. 4. Сопряженные шаровые функции (функции Лежандра высшего порядка) 481. Xll
Оглавление
§ 4. Применение метода интегральных преобразований к диференциальным ураннениям Лежандра, Ч е -бышева, Эрмита н Лагерра..............481
1. Функции Лежандра 481. 2. Функции Чебышева 483. 3. Функции Эрмита 484. 4. Функции Лагерра 484.
§5. Шаровые функции Лапласа....... . . . . 485
1. Нахождение 2п +1 шаровых функций п-го порядка 486. 2. Полнота полученной системы функций 487. 3. Теорема о разложении 488. 4. Интеграл Пуассона 488. 5. Выражение шаровых функций Максвелла-Сильвестра 489.
§ 6. Асимптотические разложения . . . . . . . 496
1. Формула Стирлинга 496. 2. Асимптотическое вычисление функций Ганкеля и Бесселя для больших значений аргумента 498. 3. Метод перевала 501. 4. Применение метода перевала к вычислению функций Ганкеля н Бесселя для больших значений параметра и больших значений аргумента 502. 5. Общие замечания по поводу метода перевала 506. 6. Метод Дарбу 506. 7. Применение метода Дарбу к асимптотическому разложению полиномов Лежандра 507.
Примечания.........................%"1 509
Предметный указатель......... ..........519 глава і.
Алгебра линейных преобразований и квадратичных
форм.
Многочисленные вопросы математического анализа, с которыми нам придется иметь дело в этом томе, самым тесным образом связаны как в смысле аналогии, так и в смысле внутренней зависимости с теорией линейных преобразований и квадратичных форм. Поэтому мы рассмотрим сначала со всей возможной краткостью именно эту область с точки зрения, имеющей для нас здесь важное значение, причем мы предполагаем у читателя некоторое знакомство с затронутыми вопросами.
§ 1. Линейные уравнения и линейные прео6разования.
1. Векторы. Для того чтобы иметь возможность кратко формулировать известные факты из теории линейных уравнений, целесообразно ввести простейшие обозначения векторного исчисленияг). Систему п действительных чисел jc1,..., хп мы называем n-мерным вектором или вектором в пространстве я измерений и сокращенно обозначаем соответствующей немецкой буквой Числа X1 (/=1, ..., п) называются компонентами вектора J. Если все компоненты обращаются в нуль, то мы говорим о нулевом векторе. При п = 2 или при п= 3 простейшим геометрическим истолкованием вектора является, как известно, „радиус-вектор", идущий из начала координат прямоугольной системы к точке с прямоугольными координатами X1. При 3, правда, геометрически наглядного образа нет, но пользоваться геометрическим способом выражения по сути дела удобно и в этом случае.
