Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
отличен от нуля и потому может быть нормирован, и мы получаем таким образом е3.
Путем продолжения1 этого процесса мы приходим к искомой ортогональной .системе.
При т<^п говорят о неполной, а при т — п о полной ортогональной системе. Если обозначим компоненты вектора J относительно C1, ... , ет опять через с, ... , ст, то из очевидного соотношения:
(ї^e1-...-Cmcj2sso
Следует, если разложить квадрат вектора в левой части по имеющим место и здесь правилам алгебры, что
mm т tu
t -2(S? C1 ej + ?c^- 2 с2 + c2i 0 t=i і=і і=і <=i
или
m
ь <3>
/=1
причем m <; я и Cl = (TXi). При m = n имеет место знак равенства:
т
t = ? $ (4)
1=1
Оба последних соотношения, которые содержат векторное выражение теоремы Пифагора и при п =? 3 имеют непосредственное геометрическое истолкование, обычно называют первое — неравенством Бесселя, а второе —условием полноты. Действительно, равенство (4) выражает в том случае, когда оно справедливо для любого вектора, что заданная ортогональная система является полной системой. В самом деле, равенство (4) не могло бы иметь места для нормированного вектора, ортогонального ко всем векторам C1, ... , Cm, а такрй вектор непременно существует, если т<^п.§ 1 Линейные уравнения И линейные преобразования
5
Можно, впрочем, записать условие полноты в более общем виде:
т
(її') = і>л (5)
который легко получается из ортогональности векторов ег
Все эти алгебраические соотношения имеют преимущественно формальный характер. Они приобретают более глубокое значение благодаря тому, что они снова встречаются формально совершенно аналогичным образом в трансцендентных вопросах анализа, где они уже не являются тривиальными.
3. Линейные преобразования, матрицы. При помощи системы п линейных уравнений:
flIl*! + а12х2+ • • • + а1ПХП==Уі> '
а21Х\ а22х2 + ¦ • - + а2пхп ==У2> . (6)
апЛ + ап2х2 + • : * + аппхп =Уп ¦
с заданными коэфициентами aik мы каждой системе значений^, х2,...,хп
однозначно относим систему значений Jz1, у2,____ уп. Эту операцию
называют линейным преобразованием системы значений X1, х2,..., хп в систему уг, у2, ...,.уп или короче, вектора J в вектор ty. Линейный характер преобразования выражается втом, что вектору X1J1-J-X2J2 соответствует вектор Xjty1-J-Xjty2.
Самой важной из задач, встречающихся при линейных преобразованиях, является задача об их обращении, иными словами: вопрос о решении системы линейных уравнений. Ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема из теории линейных уравнений, доказательство которой мы можем предполагать известным.
Система уравнений
аихл + ai2x2 + • • ¦ + aIttxn =Уі>
а21Х1 + °22Х2 "Т" • - • ~Г а2пХп ~У2' а,ах1 + а,лх2 + ••• + аппхп=Уп
•или, короче,
п
п=1
либо имеет при заданных значениях alk для любого, произвольно заданного вектора ty одно и только одно решение j, в частности при ty=^ О решение J = O; либо же однородные уравнения, получающиеся из системы (7) при ty —0, имеют положительное число р „нетривиальных т. е. отличных от нулевого вектора, линейно независимых между собой решений J1, J2..., Jp, которые мы можем считать нормированными. В этом случае и „транспонированная" система уравнений
п
E?'A=°(i=l,..M"), (8)
k=l6
линейных преобразований
Гл. I
где =аы, имеет р линейно независимых, нетривиальных решений jj, ... ,?р. Для тех, и только для тех векторов, которые удовлетворяют р соотношениям: (Ijj11) = 0,... , (tyj'J — 0, т. е. ортогональны к Jj1 ... , Jp, может быть решена и неоднородная система (7), причем это решение определяется только с точностью до произвольного аддитивно входящего решекия однородной системы уравнений.
При этой формулировке основной теоремы мы не ссылаемся на теорию определителей. Определители нужны лишь для того, чтобы представить решение системы уравнений в явном виде, что мы сейчас и сделаем.
Самое существенное в таком линейном преобразовании дается таблицей коэфициентов или матрицей уравнений (7):
/C11C12 .. • • ?J«\
A = Ы = І а 21а 22 • ' • • а2п 1
\ ¦ • aJ
с определителем
AjlA12 . , .. ?Jn
?21?22 • ' ,. а2п
... • •
ап\ап1 • • • апп
В иных случаях целесообразно обозначить само преобразование или, как говорят также, тензор или оператор отдельной буквой SL Элементы aik матрицы А называются компонентами тензора. Мы можем рассматривать линейное преобразование (7) как ,умножение" тензора Щ на вектор J и символически записать в виде:
Sfe = 9.
Многие положения „линейной алгебры" особенно удобно выражаются, если их формулировать как теоремы о матрицах, пользуясь при этом некоторыми простыми определениями и правилами, которые носят название: исчисление матриц. Прежде всего мы приходим к понятию об умножении матриц, рассматривая вектор J, который требуется преобразовать при помощи предыдущих уравнений (7), в свою очередь, как произведение другого тензора 35 с компонентами blk на вектор to; итак, пусть JHto связаны между собой системой линейных уравнений:
п
Yibikwh = Хі (l' = l.----")