Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
I. Общие замечания. Принцип наложения 260. 2. Однородные и неоднородные задачи. Краевые условия 262. 3. Формальные соотношения. Сопряженные диференциальные выражения. Формулы Грина 262. 4. Линейные функциональные уравнения, как предельные случаи и аналоги систем линейных уравнений 265.
§2. Системы с конечным числом степеней сво-
боды ..........................266
1. Собственные колебания. Нормальные координаты. Общая теория процесса 266. 2у Общие свойства колебательных систем 270.
§3. Колебания струны...............271
I. Свободные колебания однородной струны 271. 2. Вынужденные движения 274. 3. Общий случай неоднородной струны и задача Штурм-Лиувилля 275.
§4. Колебания стержня . . . .,..........279
§5. Колебания мембраны .............281
I. Общая задача об однородной мембране 281. 2. Вынужденные движения 283. 3. Узловые линии 284. 4. Прямоугольная мембрана 284, 5. Круговая мембрана. Бесселевы функции 286. 6. Неоднородная мембрана 289.
§6. Колебания пластинки............. 290
I. Общие соображения 290. 2. Круговая пластинка 290.
§7. Общие соображения о методе собственных функций........................291
1. Применение метода в задачах о колебаниях и в задачах о равновесии 291. 2. Задачи о собственных значениях в теории теплопроводности 294. 3. Другие вопросы, приводящие к задачам о собственных значениях 295.
§ 8. Колебания трехмерных континуумов . . . . 296
§ 9. Краевые задачи теории потенциала и собст-
,^венные функции . .'..................297
У 1. Окружность, сфера, сферический слой 298. 2. Цилиндрическая область 301. 3. Задача Ламе 301.
§ 10. За*дачи шт у'рм - л и у в и л л е в с к о г о типа. Особые краевые точки . ....................806
1. Бесселевы функции 306. 2. Функции Лежандра любого порядка 307. 3. Полиномы Якоби и Чебышева 309. 4. Полиномы Эрмита и Лагерра 310.
§ 11. Об асимптотическом поведении решений штурм-лиувиллевских дифереициальных уравнений 312
1. Ограниченность при бесконечном возрастании независимого переменного 312.2. Уточнение результата (бесселевы функции) 313.3. Ограниченность решений при возрастании параметра 315. 4. Асимптотическое выражение решений 316. 5. Асимптотическое выражение штурм-лиувиллевских фундаментальных функций. 317. Xll
Оглавление
§ 12. Краевые задачи с непрерывным спектром собственных значении ...... ..........320
1. Тригонометрические функции 321. 2. Бесселевы функции 321.3. Задача о собственных значениях уравнения колебания для бесконечной плоскости 321, 4. Задача Шрёдингера о собственных значениях 322.
§ 13. Теория возмущений .............324
1. Простые собственные значения 324. 2. Кратные собственные значения 326. 3. Пример к теории возмущений 328.
§ 14. Функция Грина (функция влияния). Приведение задач с диференциальными уравнениями к интегральным уравнениям . . . ..............330
I. Функция Грина и краевая задача для обыкновенных дифереициальных уравнений 330. 2. Построение функции Грина и обобщенная функция Грина 334. 3. Эквивалентность задачи с диференциальным уравнением задаче решения соответствующего интегрального уравнения 337. 4. Обыкновенные диференциальные уравнения высшего порядка 341.5. Диференциальные уравнения с частными производными 342.
§ 15. Примеры функции Грина...........349
1. Обыкновенные диференциальные уравнения 349. 2. Функция Грииа выражения Ди для Kpjfra и шара 354. 3. Функция Грина и конформное отображение 356. 4. - Функция Грина уравнения потенциала для шаровой поверхности 356. 5. Функция Грина уравнения Ди = О для прямоугольного параллелепипеда 357. 6. Функция Грина уравнения Au-O для внутренней области прямоугольника 362. 7. Функция Грина для кругового кольца 364.
§ 16. Дополнениякпятойглаве..........366
1. Примеры на колебания струны 366. 2. Колебания свободно свисающего каната и бесселевы функции 368. 3. Дальнейшие примеры случаев колебательного уравнения, разрешимых в явном виде. Функции Матье 369. 4. Параметры в краевых условиях 370. 5. Тензоры Грина для систем дифереициальных уравнений 371. 6. Аналитическое продолжение решения уравнения Ди-J-Xu = O 372. 7. Теорема об узловых линиях решения уравнения См+ Iu = O 372. 8. Пример собственного значения бесконечно большой кратности 372. 9. Границы применимости теорем разложения 372. Литература к гл. V 373.
Г л А в а VI.
Применение вариационного исчисления к задачам о собственных значениях.
§ 1. Экстремальные свойства собственных значений .........*.................375
1. Классические экстремальные свойства 375. 2. Дополнения и обобщения 379. 3. Задачи о собственных значениях для областей, состоящих из отдельных несвязанных кусков 382. 4. Максимально-минимальное свойство собственных значений 383.
§ 2. Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений................384
1. Общие теоремы 384. 2. Неограниченное возрастание собственных значений 390. 3. Асимптотическое поведение собственных значений для задачи Штурм-Лиувилля 392. 4. Диференциальные уравнения, имеющие особые Оглавление
