Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если заданы два произвольных действительных числа \ и }1, то под вектором Xj -(- Jity=3 мы разумеем вектор, компоненты Z1 которого линейно составлены из компонент X1 и yt векторов 5 и ^ по формуле
Zl-Ixl-jTtiyr
Тём самым в частности определена сумма и разность двух векторов.
Скалярным произведением ($)) векторов J и I) мы называем число
(?*)) = + -.. + • • • +.? (1)
Иногда мы будем называть скалярное произведение (??) компонентой вектора Ij относительно вектора или же наоборот.
') При этом здесь речь идет только о сокращенном способе обозначений, а не об изложении собственно векторного анализа или его обобщения на случай , измерений, где основным пунктом исследования является вопрос об известных инвариантах.
1 Курант-Гильберт, IO
Алгебра линейных преобразований Гл. I
Если скалярное произведение (jtj) обращается в нуль, то векторы juty мы будем называть перпендикулярными или ортогональными друг к другу; при п— 2 и п= 3 этот способ выражения имеет непосредственное наглядное значение. Особенное значение имеет скалярное произведение A^j = (jj) = j» вектора на самого себя, которое мы называем нормам вектора. Положительный квадратный корень из J2 называют абсолютным значением или длиной вектора j и обозначают так:
!її = Vt-
Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным вектором или единичным вектором.
Скалярное произведение (Ctfc) двух векторов a = (O1, ... , ап) и Ь ==(#], ... , Ьп) удовлетворяет следующему неравенству:
(ab)2 < а5Ь2,
или, не пользуясь векторными обозначениями:
(|«а)чм§4
причем знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда числа с/ пропорциональны числам Ьр т. е. имеет место соотношение:
Xa + Mb = 0.
Доказательство этого неравенства Шварца 1J вытекает из замечания, что квадратное уравнение
«=1 1=1 /=і 1-і
не может иметь двух различных действительных корней а имеет, за исключением случая пропорциональности чисел at и чисел bt, мнимые корни. Неравенство Шварца представляет соответствующее этому факту соотношение для дискриминанта квадратного уравнения. Другое доказательство неравенства Шварца непосредственно вытекает из тождества:
,•=1 /=1 \j=I / J=і А=і
Векторы J1,..., jm называются линейно независимыми, если невозможно найти числа X1, ... , Im, которые не равнялись бы одновременно нулю, так чтобы имело место векторное равенство:
т. е. чтобы все компоненты вектора, стоящие в левой части, равнялись нулю. В противном случае векторы называются линейно зависимыми.
*) Впрочем, этим соотношением пользовался еще Коши. § 1
Линейные уравнения И линейные преобразования
3
В n-мерном пространстве п векторов C1, е2, ..,, е „, компоненты которых по порядку задаются строками схемы
1, 0, ... ,0 0,1, ... ,0
0,0, ...,1,
образуют систему п линейно независимых векторов.
В самом деле, если бы имело место соотношение XjC1 + XgC2 +... ... + Аяея = 0, то, умножив его скалярно на ел, мы получили бы тотчас же Xfl = 0, так как ел = 1, a (Zffik)= ® {h=/=k).
В то время как безусловно существуют системы п линейно независимых векторов, между « + 1 векторами ix,, ... , ltH+1 непременно должно иметь место, по крайней мере, одно линейное уравнение:
Ji1It1 + ... +JWUn-M=о,
в котором не все коэфициенгы равны нулю, так как система п однородных линейных уравнений
п+1
YuUlkIIl = 0 (Ae=I, ... ,п)
і=і
относительно п —|— 1 неизвестных Ji1, ... , рп+1 всегда имеет нетривиальное решение (см. п. 3).
2. Ортогональные системы векторов. Полнота системы. Предыдущие „координатные векторы" е, представляют специальную систему „ортогональных единичных векторов". Мы разумеем под единичным вектором, как н выше, вектор, длина которого равна единице, а под системой п ортогональных единичных векторов C1, е2,___, еп— такую систему, когда выполнены условия:
(Vft) = O (A=^ft)
при h, k= 1, 2, ... , п. Так же как и раньше, можно заключить, что п
векторов C1, C2,____ е„ линейно независимы.
Если имеем произвольный вектор j, то в силу линейной зависимости я—{— 1 векторов должно иметь место соотношение:
C1C1 * ... сп сп = 0,
в котором ие все постоянные с равны нулю; при этом C0 не может равняться нулю, так как векторы I1 лйнейно невависимы, и потому можно принять C0 равным единице. Всякий вектор ? можно, следовательно, представить при помощи системы ортогональных единичных векторов В ВИД?:
? = C1C1^C2C2 +...+CaCir (2)
Значение коэфициентов C1 компонент вектора J относительно системы C1, ... , Crt находим скалярным умножением равенства (2) на а именно: IO
Алгебра линейных преобразований
Гл. I
Из произвольной системы т линейно независимых векторов D1, ... , Dm мы можем получить систему т ортогональных единичных векторов C1 , ... , ет с помощью следующего процесса ортогонализации.
Полагаем C1 = DjZjD1I. Затем мы выбираем два не обращающиеся одновременно в нуль числа C1 и1 с'2 так, чтобы вектор .C1 C1-J-C^D2 был ортогонален к е3, т. е.' чтобы( C^e1 D2) = 0. Вследствие линейной независимости векторов D1 и D2, а вместе с тем и C1 и D2 вектор с I eI 4" с2 не Равен нулю; разделив этот вектор на его длину, получим' единичный вектор е2, ортогональный к ег Далее, выбираем три не обращающиеся одновременно в нуль числа C1, c"v с"л так, чтобы вектор Cj C1 -J- с"2 е2 -J- Cg D3 был ортогонален к векторам C1 и е2, т. е. чтобы cI + = ° и е2 +S(^e2) = 0- Вектор Cje14 C^e2 -Ь CgD3 опять
