Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
/?=(? —XT)-i = ?-J-XT+X2T2-J-...
формально вполне совпадает с обыкновенным геометрическим рядом (см. рассуждения на стр. 8, где надо только положить А=\Т, чтобы получить полное совпадение). IO
Алгебра линейных преобразований Гл. I
Если представить нашу первоначальную систему уравнений не с помощью матриц, а с помощью соответствующих им билинейных форм в виде:
E (и, х) — \Т(и, х) = Е(и, у),
то можно тотчас же записать решение во вполне симметричном к предыдущему виде:
?("> + У1 У) —E (и, X),
если положить
Ци, у, X) = T+IT*+VT = * * 1) Г Е У).
Л
Билинейную форму T называют резольвентой формы Т. Легко доказать сходимость предыдущих рядов Неймана для /? и T при достаточно малых значениях |Х|.
Пусть M означает верхнюю грань абсолютных значений чисел tih, тогда для абсолютных значений коэфициентов форм T2, T3, ...,Th мы непосредственно получаем верхние грани пМ2, п2М3, ..., nh~1Mh, следовательно, выражение
(M + ХйМ* + x»ли» + ...) (iU11 + ... +1 Un i) (і уг i + ... +1 у„ i) представляет мажоранту, для ряда Неймана. Но эта мажоранта непременно сходится при ІМ^^дї"- Следовательно, ряд Неймана также
сходится при достаточно малых значениях |Xj и действительно представляет резольвенту формы Т(и, х) 1J.
*) Сходимость предыдущей мажоранты, очевидно, с возрастанием п все ухудшается. Следует, однако, заметить, что можно при помощи небольшого уточнения легко найти оценку границы сходимости, не зависящую от п, которую можно поэтому применять и при обобщениях на случай бесконечно большого числа переменвых. Обозначим элементы матрицы T ' через и положим
Sia=V
«=i
Если M представл яет верхнюю грань всех и чисел Zp то, как мы покажем мето-
и.
дом полной индукции, ^ | | =? следовательно, • и подавно <7=1
J $ I^v
при р, q= 1,..., п и любом значении v. Отсюда .непосредственно следует, что наш ряд Неймана сіодится при 111 < — . Таким образом получена грань, в которую число п явно не входит.
Чтобы доказать предыдущее неравенство для любого v, будем считать .его доказанным для » — 1. §2
ЛиНеййые Преобразования ? линейным Параметром
17
Заметим, между прочим, что только что произведенная нами оценка показывает, что мы можем во всякий повсюду сходящийся степенной
со
ряд /(*) = ^T cv*v подставить вместо х произвольную матрицу А и по-
V=O
00
лучить таким путем новую матрицу f(A) = ^ с^А'. В частности, следо-
V = I
вательно, всегда существует матрица еА.
Полученное нами выражение для R или T сходится только при достаточно малых |Х[. Между тем формула (15) предыдущего параграфа дает нам выражение для обратной формы или матрицы R = (E— ).7")-1, имеющее смысл и вне области сходимости ряда. В самом деле, отождествляя форму E— XT с формой А (и, х), получаем для обратной формы выражение:
a(x)
а для резольвенты T выражение:
T (и, J-; X):
Mg, у; X) і
XA(X)
уЕ("> У)>
причем
О М1 Un
А (и, у; X) = -Vl 1—Xtjl ... Xtln
Уп X ... 1 X tnt
есть целая рациональная функция от X степени я — 1, а
1 -Xt11 ^ ^J 2 * • • -^ln
A(X) = -Itil 1 X /22 . . .
-Чі ^ ' • • ^ -Kn
целая рациональная функция степени п. Корни многочлена A(X) образуют, следовательно, определенный выше спектр формы Т, т. е. совокупность тех значений X, для которых форма E-—XT не имеет обратной формы.
Тогда
xiя h xis $ и ? ? i $ 11 <vi
5 = 1 5 = 1 а=1
?=1 а=1 п
O = I
?=1
O=I
Так как неравенство справедливо при v=l, то тем самым оно доказано для любого индекса v.
2 Курант-Гильберт. 18
Алгебра лииеййы* Преобразований
При помощи формулы: T-J-XF2 +X2 Г3-f
Д (щ у; X)
тщ—те{и'у)
находящийся в левой части ряд, характер которого непосредственно усмотреть нельзя и который сходится не при всех значениях X, аналитически продолжен на всю плоскость переменного X. Обратная форма R, как и резольвента Т, является рациональной функцией X, полюсы которой представляют спектр формы Т.
Разлагая определители А (и, у, X) и Д (X) по правилам теории определителей по степеням л, получаем:
Д(и, у; IJ = A1 (и, у) — л A2 (и, j/) X2A3 (к, у)— ... ...-K-Ir-1^-IAe(и, У), Д(Х) = I-XA1 +X2 A2-... -К_1)«л«Д„,
причем-
Aft (и. .У) = 2
о uPl •¦• UPk
-Vp. Wi • • ¦ ^ PiPh
У PX ^PhPt • * • tphPh
W» ^PiPi • • • tpiPh
W1 Ws ' ' • Wh
¦ • а • • •
tphpl tPhPl' • • tphPh
При этом суммирование распространяется на все целочисленные значения P11 р2, ... , рн, от 1 до л, где р, <р2 < ... Ой.
Часто бывает удобно ввести вместо параметра X обратное значение X = у. В этом случае целесообразно рассматривать форму X E — T, с определителем
х — /и tJ2 ... -hn
^21 X ^22 " • * = <р(х),
-и 'їй • • •
?,
Представляющим целую рациональную функцию степени п от х, корни которой X1, ... , 7,г, представляют величины, обратные корням Д(Х), т.е. собственным значениям формы Т. Обратная форма (у. E—Г)-1, которая 'существует для в,сех значений х, отличных от X1,..., Yrt, может быть представлена при достаточно больших значениях с помощью ряда Неймана:
