Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
(Цифры курсивом указывают страницы.)
ГЛАВА I.
Алгебра линейных преобразований и квадратичных форм.
§ 1. Линейные уравнения и линейные преобразования.. ........................ 1
1. Векторы 1. 2. Ортогональные системы векторов. Полнота системы 3. 3. Линейные преобразования, матрицы 5. 4. Билинейные формы, квадратичные и эрмитовы формы 10. 5. Ортогональные и унитарные преобразования 12.
§ 2. Линейные преобр а з о вания с линейным параметром ......................... 14
§ 3. Преобразования к главным осям квадратичных и эрмитовых форм..... . .......... 20
1. Проведение преобразования к главным осям на основании принципа максимума 20. 2. Характеристические числа и собственные значения 23. 3. Обобщение на эрмитовы форМы 24. 4. Закон инерции квадратичных форм 25. 5. Выражение для'резольвенты формы 26. 6. Решение системылинейных уравнений, соответствующей данной форме 27.
§4. Минимал'ьно- максимальное свойство соб-ственныхзначений.................. 28
1. Определение характеристических чисел с помощью задачи о наименьшем значении максимума 2Ь. 2. Применения 29.
§5. Дополнения и задачи к первой главе. . . . 31
1. Линейная независимость и определитель Грама 31. % Теорема Адамара об оценке определителя 32. 3. Одновременное преобразование двух квадратичных форм к каноническому виду 33. 4. Билинейные и квадратичные формы от бесконечно большого числа переменных 35. 5. Бесконечно малые линейные преобразования 35. 6. Варьированные системы 36. 7. Наложение связи 38. 8. Элементарные делители матрицы или билинейной формы 39. 9. Спектр унитарной матрицы 39. Литература к гл. I 40.
Глава II.
Задача о разложении в ряд произвольных функций.
§ !.Ортогональные системы функций...... 42
1. Определения 42. 2. Ортогонализация функций 43. 3. Неравенство Бесселя. Условие полноты системы. Аппроксимирование в среднем 44. 4. Ортогональные и унитарные преобразования бесконечно большого числа переменных 48. 5. Справедливость результатов в случае нескольких независимых переменных. Расширение предпосылок 49. 6. Построение полных систем функций от многих переменных 49. Xll
Оглавление
§2. Принцип предельных точек в функциональном пространстве................... 50
1. Сходимость в функциональном пространстве 50.
§ 3. Мера независимости и число измерений. . . 55
1. Мера независимости 55. 2. Асимптотическое число измерений последовательности функций 56.
§4. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании. Полнота системы степеней и системы тритоном етр ическ и X фу нкци й............... 58
1, Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании 58. 2. Распространение на функции от многих переменных 61. 3. Аппроксимирование производных 61. 4. Полнота системы тригонометрических« функций 61.
§ 5. Ряды Фурье .................. 62
1. Доказательство основной теоремы 62. 2. Кратные ряды Фурье 66. 3. Порядок коэфициентов Фурье 67. 4. Растяжение основной области 67. Примеры 68.
§6. Интеграл Фурье................ 70
1. Доказательство основной теоремы 70. 2. Распространение формулы на случай многих; переменных 73. 3. Взаимно обратные формулы 74.
§ 7. Примеры на интеграл Фурье......... 75
1. Интегральная формула Фурье 75. 2. Разрывный множитель Дирихле 75.
§ 8. Полиномы Лежандра.............. 77
1. Построение путем ортогонализации степеней 1, х, х^,... 2. 77.
2. Производящая функция 79. 3. Дальнейшие свойства 79.
§9. Примеры других ортогональных систем . . 80
1. Обобщение постановки вопроса, приводящей к полиномам Лежандра 80. 2. Полиномы Чебышева 81. 3. Полиномы Якоби 83. 4. Полиномы Эрмита 84. 5. Полиномы Лагерра 86. 6. Полнота системы полипомов Лагерра и Эрмита 88.
§10. Дополнения и задачи'ко второй главе ... 90
1. Решение Гурвица для изопериметрической задачи 90. 2. Взаимно обратные формулы 91. 3. Интеграл Фурье и сходимость в среднем 91.
4. Спектральное разложение с помощью ряда Фурье и интеграла Фурье 92.
5. Плотные системы функций 93. 6. Теорема Г. Мюнца о полноте системы степеней 94. 7. Теорема Фейера 94.8. Формулы обращения Мелина 95.9. Явление Гиббса 98. 10. Теорема об определителе Грама 100. П. Применение понятия »интеграла Лебега 100. Литература к гл. II 103.
глава iii.
Теория линейных интегральных уравнений.
§ 1. Предварительные соображения........104
1. Обозначения и оаювные понятия 104. 2. Истокообразно представленные функции 105. 3. Выродившиеся ядра 106.
§ 2. Теоремы Фредгольма для выродившегося ядра 107 § 3. Теоремы Фредгольмадляпроизвольного ядра 109 Оглавление
XI
§4. Симметрические ядра и их собственные значения........................113
1. Существование собственного значения у симметрического ядра 113.
2. Совокупность собственных функций и собственных значений 116. 3. Максимально-минимальное свойство собственных значений 122.
§5. Теорема о разложении и ее применения . . , 124
1. Теорема о разложении 124. 2. Решение неоднородного линейного интегрального уравнения 126. 3, Билинейная формула для итерированных ядер 127. 4. Теорема Mepcepa 128.
