Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
(ABy = BfA1,
которое легко непосредственно проверить. Матрица называется симмет.' ричной, если A = Au, действительная матрица, для которой
AA1=E,
называется ортогональной, наконец, вообще комплексная матрица называется унитарной, если
Л Л*=E.
Обращение линейного преобразования (7), как известно из теории определителей, возможно при произвольных у1 в том и только в том случае, когда определитель А = | aik ] не равен нулю. В этом случае решение однозначно определяется и выражается соответствующей системой уравнений
*/=2<Wft (t=i,...,n). (її)
При этом, как известно,
где Aw означает минор, соответствующий элементу аы определителя А. Матрица A = (aih) называется взаимной Или обратной матрице Л и отличается тем, что
AA=AA=E. IO
Алгебра линейных преобразований
Гл. I
Однозначно определенную матрицу Л обозначим теперь Л-1; определитель этой матрицы имеет значение А-1. На языке исчисления матриц мы можем, следовательно, охарактеризовать решение системы уравнений с матрицей А, определитель которой не равен нулю, при помощи матрицы B = A'1, удовлетворяющей соотношениям:
AB=BA-=E.
4. Билинейные формы, квадратичные и эрмитовы формы. Для того чтобы представить в компактной и наглядной форме линейные уравнения (7), можно воспользоваться эквивалентной системе уравнений билинейной формой, принадлежащей матрице А. Эта били-нейная форма
п
Л(м, X) = J^aikUiXfy (13)
Uk=I
получается, если умножить линейные относительно X1,.,., хп формы, стоящие в левых частях уравнений (7), на неопределенные величины K1, ... , ип и затем сложить. Таким путем вместо системы уравнений (7) получаем одно тождественное относительно величин и уравнение:
А(и,х) = E (и, у), (14)
п
где E (и, у) = У, и,у, представляет билинейную форму единичной мат-
г=1
рицы или билинейную единичную форму. Под символическим произведением двух билинейных форм Л (и, х) и В (и, х) с матрицами А к В разумеют билинейную форму С (и, х) с матрицей C= AB. Степень Ah (и, х) называют также А-й итерированной формой. Обратная билинейная форма А~г (и, х), имеющая матрицу Л-1, может быть пред-Ставлена на основании теорем теории определителей в виде:
А-Чи,х)=-^^-, (15)
где
0 Uj . • uH п
А(и, х) = X1 aIl -¦• • аЧп ~ ? ^ik xI11 k
хп ап1 • • апп І, fcr-l
Особый интерес представляют симметрические линейные преобразования, которые характеризуются условием ahl = aJh. Для исследования таковых достаточно рассмотреть квадратичную форму:
п
Л (АГ, x)=YalkX^
і, A=I
которая получается из билинейной формы, если ПОЛОЖИТЬ Ul = Xi. В самом деле, из квадратичной формы Л (х, х) получаем симметричную § 1 Линейные уравнения И линейные преобразования
24
билинейную форму:
yi _ 1 чД M(JC1JC)_А (х -f- и, X -{- и) — А(х, х) — А(и, и)
2j aIkuIxU — у 2м uI Ъх---2 '
/,ft=і /= і 1
которая называется полярной формой, соответствующей квадратичной форме А (х, л').
Если А (и, х) = 2 aIkUtXk—произвольная несимметричная билинейная форма (с действительными коэфициентами), то ЛЛ'(и, л) и Л'Л(и, х) во всяком случае представляют симметричные билинейные формы; в самом деле:
П/П п V
AA' (и, X) = ? I ? OtkXl ? alk Ui J
п , Л П \
A1' А (и, X) = ? ( ? а,Л ? aik Ч •
/= і ^ft=I ft=i /
Мы можем, следовательно, образовать также квадратичные формы:
, 2
й = 1 Ni =1 /
п і п \ 2
Z(Za^ft) •
/=1 \ft=i /
А'Л (х, JC)
Эти квадратичные формы, будучи суммами квадратов, обладают тем свойством, что могут принимать только неотрицательные значения. Такого рода квадратичные формы называются. определенными положительными квадратичными формами.
Важным обобщением квадратичных форм являются эрмитовы формы. Это — билинейные формы:
и
Л(и,х) =? OlkUlXk, i, A = I
коэфицненты которых alh могут нметь комплексные значения и должны удовлетворять соотношениям:
aIk ~ акг
Следовательно, эрмитова форма принимает действительные значен я если придать Ui значения, комплексно сопряженные с X1. В этом случае обыкновенно записывают эрмитову форму в виде:
п п
H (X, X)= ? OikXlXk= ? UliiXiXk. /, ft = l і, k=l 12
Алгебра линейных преобразований
Гл. I
Произвольной билинейной форме
я
А (и, *) = ? HikUlXk i, A = I
с комплексными коэфициентами соответствуют эрмитовы формы:
AA* (ЛГ, л) = AA1 (х, лг) = Y
Если в билинейной форме
я Tl
E Y
A=I І =I
п п
Y Y
/=і A = I
/a a
А(х,у)= Y CLikXiVk і, A=I
подвергнуть переменные линейным преобразованиям
п п
xI=YtcIW и
A = I
a= 1
матрицы которых С и В, то
л с*. jo=Y а*х1Ук= Y aIkcIibH ъ=Y Pjtflv
/, A = I /,/', А,/=1 /,1=1
п
Pji= Y aiucijbki-
і, A= 1
Таким образом получаем из Л преобразованную билинейную форму с матрицей
(Pjl) = CABy
определитель которой по теореме умножения определителей равен А.ВГ. Если в частности имеем дело с квадратичной формой:
я
К(х, X)=Y kpqxpxq
р, ? = 1
с симметрической матрицей K.= (kpq) и определителем К — \kpq |, то следует взять C=B, и при преобразовании переменных х получается симметрическая матрица C1KC с определителем КГ2.
