Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Но тематика геометрии подверглась дальнейшему расширению. „Основания геометрии" Гильберта показали возможность построения различных геометрий из произвольных элементов, связанных соотношениями, кото-Предисловие
VII
рые частью удовлетворяются в обычной геометрии. Базой для построения этих общих систем была теория множеств, рассматривающая как единое целое произвольную совокупность любых элементов. Работы Фреше (FrSchet) и Гаусдорфа (Hausdorff) положили, начало теории так называемых абстрактных пространств, т. е. множеств произвольных элементов, между которыми установлены отношения, являющиеся обобщением наиболее основных соотношений между точками обычного пространства (предельный элемент, окрестность и т^ п.). Чрезвычайно большую роль стали играть со времени Фреше так называемые функциональные пространства, т. е. абстрактные пространства, точками которых являются функции. Рассмотрим (гл. II, § 2), например, функциональное пространство /?, элементом которого является произвольная непрерывная функция на отрезке а^х^Ь или функция с интегрируемым квадратом; расстояние р(/,<р) между двумя точками R: функциями /(х) и <р(я) устанавливается по аналогии с расстоянием в эвклидовом я-мерном пространстве:
P (Л tP) —— <f>)2 dx-,
f{x) является предельным элементом для последовательности fn(x), если р(Д fn)—>0 при п—»оо, т.- е.
ь
1іш ^ (/—/„)« ле = о
(сходимость в среднем). Мы можем определить в пространстве R также углы. Каждую функцию f(x) можно рассматривать как конец вектора с началом в нулевой функции и концом в „точке" f(x) длины:
[я = ]/ \pax.
Функции f(x) можно относить, следовательно, вектор в пространстве R. Угол а между функциями-векторами f(x) и f(x) определяется по аналогии с я-мерной эвклидовой геометрией:
ь
\fydx cosa = ° . .
[Я [<р]
Условия ортогональности „векторов" /(х) и ip (х)—обычное условие ортогональности функций f(x) и <р (дг). Таким образом становится понятной роль в анализе последовательностей взаимно ортогональных функций' (тригонометрических, бесселевых, полиномов Лежандра и т. д.): они образуют системы взаимно ортогональных векторов в пространстве R. Их можно принять за оси координат, коэфициенты Фурье суть проекции функции-вектора на оси координат, и разложение в ряд Фурье — представление "вектора через его проекции на ортогональную систему координат; теорема Парсеваля есть просто теорема Пифагора в пространстве R: квадрат длины вектора есть сумма квадратов его проекций на оси координат.VIH
Предисловие
В настоящей книге широко применяются также вариационные методы. В классический период своего развития вариационное исчисление занимало несколько обособленное положение в анализе. Оно находило те диференциальные уравнения, которым должна удовлетворять функция для того, чтобы реализовать экстремум некоторого функционала, и исследовало дополнительные условия, при которых решение этого уравнения в самом деле реализует максимум или минимум (гл. IV, § 3—7). Новую постановку задачи вариационного исчисления мы видим у Гильберта. Пусть задан функционал / (/), и С есть нижняя "граница значений этого функционала. Мы образуем „минимизирующую" последовательность функций fn(x), такую, что Iim 1(/я)=С. Построив минимизирующую по-
л-» oo
следовательность, мы во многих задачах находим, путем предельного перехода, искомую функцию f(x) = Iim fn(x), для которой I(J) = C.
п-ЮО
При этом, не решая дифереициальных уравнений, которым должна удовлетворять f(x), мы даем доказательство существования этой функции и, если последовательность /я (х) выбрана эффективно, — метод ее приближенного определения. В этих „прямых" методах вариационное исчисление обрело возможность решать свои задачи в тех случаях, когда іґиференциальньїе уравнения, к которым они сводились, оказывались не разрешимыми обычными методами. Вместе с тем при исследовании решения диференциального уравнения стараются часто представить его как условие экстремума некоторого функционала и применить таким образом к решению нашего уравнения аппарат прямых методов.
Курант и его школа далеко продвинули прямые методы вариационного исчисления, связав их с алгебраическими методами. Бегло касаясь этих ,'вопросов в настоящей книге, автор обещал посвятить им значительное место во II томе.
Наиболее интересной частью книги является вариационная теория собственных значений дифереициальных и отчасти интегральных уравнений, принадлежащая Куранту, развиваемая в VI главе книги. Как по обилию приложений, так и по простоте и изяществу эта теория является одним из лучших достижений современного анализа.
Кроме основного материала в конце каждой главы имеются дополнения, в которых вкратце затрагиваются отдельные интересные вопросы.
Столь оригинальная, богатая идеями и содержательная книга имеет все основания на внимание советского читателя-математика.
Л. Люстерник.
От ПЕРЕВОДЧИКОВ.
Перевод сделан со второго немецкого издания. Исправлены замеченные опечатки и неправильности в формулах. Кое-где для устранения недосмотров нам пришлось несколько отступить от оригинала (см., например, стр. 89, 309, 456, 491). В конце книги приложено несколько примечаний (к стр. 71, 89, 95, 105, 455, 456, 457, 470, 471, 491, 508), кроме того там же приведены доказательства интеграла Дирихле и теоремы Фейера, взятые из первого немецкого издания.Оглавление.