Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
5. Ортогональные и унитарные преобразования. Мы ставим себе теперь задачу — найти линейные преобразования ?:
xP=Y1PgygTiP^ (P =!,...,«), s=i
(16) § 1
Линейные уравнения И линейные преобразования
13
с матрицей L = (Ipg) и определителем А.= \1рд\, которые были бы ортогональны, т. е. переводили бы единичную квадратичную форму
п
Е(х, x) = Yxl
P=і
в себя самое, удовлетворяя тождественно относительно у соотношению
E(X1X) = E (у, у). (17)
Если применить наши правила преобразования к квадратичной форме А(х, х) = Е(х, х), то требование, выражаемое равенством (17), дает в качестве необходимого и достаточного условия ортогональности преобразования ? равенства:
IJEL = L1L = LLi = E, L' = L-\ (18)
т. е. транспонированная матрица ортогонального преобразования совпадает с обратной матрицей, так что уравнения (16) разрешаются также с помощью ортогональной системы:
я
Ур=<19)
9 = 1
Мы видим, таким образом, что ортогональные преобразования задаются ортогональными матрицами, определение которых дано уже на стр. 9. Подробно условия ортогональности записываются следующим образом:
S^ = 1' XVv,=0 ірФЯ) (20)
v = l V = I
или
п п
E^=1- Ey5V=O (рфЧ) (21)
P
v=l V=I
Переходя к определителям, мы из соотношений (18) прежде всего видим, что А* = 1, т. е. определитель ортогонального преобразования равен -)-1 или —1; далее, мы видим, что определитель любой квадратичной формы инвариантен по отношению к ортогональным преобразованиям.
Соотношение L' (AB) L = (LfAL) (L'BL) между матрицами А и В двух произвольных квадратичных форм и матрицей L ортогонального преобразования, вытекающее из (18), показывает, что- можно ортогонально Преобразовать символическое произведение квадратичных форм путем ортогонального преобразования каждого множителя в отдельности. Отсюда в частности следует, что квадратичные формы, полученные ортогональным преобразованием двух обратных квадратичных форм, также обратны друг другу. IO
Алгебра линейных преобразований Гл. I
Обобщение предыдущих рассмотрений на случай эрмитовых форм
п
H(X, X) = YhPqxPxя р, q-1
приводит к унитарным преобразованиям. Под унитарным преобразованием
я
xP^lL1Pqyi ?=1
разумеют такое линейное преобразование (с комплексными коэфициен-тами Ipg), которое переводит единичную эрмитову форму
p=i p=i снова в единичную форму, т. е.
ziv==Ei-vpi2. p=i p=i
Путем, вполне аналогичным предыдущему, находим в качестве необходимого и достаточного условия унитарности преобразования с матрицей L матричное равенство:
LL*=1*1. = E,
где L%=L' — матрица, сопутствующая L. Следовательно, L согласно определению на стр. 9 должно быть унитарной матрицей. Условия унитарности можно записать подробно следующим образом: я
siapi2=i. sv>=0 <22)
v=i
и
Sut=I. Sv>=° (яфр)- (23)
v=i
Определитель унитарного преобразования по абсолютному значению равен единице, что также непосредственно следует из равенства
LL* = E.
§ 2. Линейные преобразования с линейным параметром.
Во многих вопросах система уравнений линейного преобразований представляется в следующем виде:
п
xI — х s tIkxIi-У І C=I,..., л), (24) § 2 Линейные преобразований с линейным параметром І5
где X — параметр (который может принимать и комплексные значения). Соответствующая билинейная форма имеет вид:
E (и, х)— X T(и, X),
причем T (и, х) имеет матрицу T=(Ilk). Решение этой системы уравнений на основании предыдущего параграфа эквивалентно разысканию обратной билинейной формы R (и, у; X) с матрицей R, удовлетворяющей уравнению (С — XT) R = Е. Мы знаем, что эта обратная матрица существует в том и только в том случае, когда определитель If-iXri не равен нулю. Так как этот определитель представляет целую рациональную функцию от X, степени не выше п, то может быть только конечное число значений X, для которых обратная форма R не существует, именно при значениях Ii, являющихся корнями этой целой рациональной функции. Эти значения Х/; собственные значения T относительно матрицы Е, образуют так называемый спектр матрицы Т. (Часто также называют
1
спектром совокупность значений , при которых не существует
h
матрицы, обратной y. E—Т.)
Вид уравнений (24) наводит на мысль попытаться решить их методом последовательных приближений, подставляя в уравнение
п
xI= У І jTlYtIkx к
к= 1
вместо величин xk снова значения
п
Ук+і Y VxJ
J=і
и продолжая поступать таким образом неограниченно. Нагляднее всего представляется этот процесс с помощью соотношения R = EX TR, из которого мы последовательно получаем:
/? = ? + ХТЯ = ?-}-ХГ+XaT2/? = ? +XT^-X2TS-J-X3T3/? = ...
Если этот процесс сходится, то мы получаем выражение для R с помощью бесконечного ряда:
/? = ? +X T-J-X2T2-J-X3T3-J- ... ,
который действительно (в случае сходимости ряда) дает матрицу, обратную матрице E—XT. Чтобы в этом убедиться, достаточно только умножить ряд на E — ХГ, заметив, что в случае сходимости можно выполнить символическое умножение почленно. Непосредственно ясно, что выражение:
