Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
с матрицей B = (bik), тогда и вектор ty получается из вектора to путем умножения на тензор (?. Матрица С этого тензора получается из А и В по правилам „умножения матриц
C=AB, § 1 Линейные уравнения И линейные преобразования
7
т. е. элемент Cik представляет скалярное произведение і-й строки А И k- го столбца В:
п
citc= ? aIjbJk (І, ft =» 1, .... в). (10)
Тензор или преобразование Є называют скалярным произведением или, короче, произведением тензоров или преобразований §1 и SS. В дальнейшем мы вместо тензоров всегда будем говорить об эквивалентных им матрицах. Мы видим, что произведение матриц обладает свой• ством сочетательности:
(AB) C=A(BC),
так что произведение A1A2 ... Ah произвольного числа матриц, взятых в известном порядке, имеет вполне определенное значение. Если A1 = A2= ...= Ah = А,"то это произведение записывают в виде h-й степени Ah матрицы А.
Однако следует заметить, что закон переместительности произведения, вообще говоря, не имеет места, так .что приходится различать между умножением слева и умножением справа матриц А и В, причем в общем случае AB не равно BA. Наконец, под матрицей L4 -J- p? мы согласно определению разумеем матрицу с компонентами \aik-\-]ibik, под нулевой матрицей— матрицу, все компоненты которой равны нулю 1Jl Между прочим, можно непосредственно убедиться в справедливостй распределительного закона-:
(А+ В) C = AC-]-ВС.
Во многих случаях необходимо ввести „единичную матрицу".
1 0 ... 0
О 1 ... о • • • •
0 0 ... 1
Она обладает тем свойством, что для любой матрицы А имеет место равенство:
AE = EA=A.
Единичной матрице соответствует тождественное преобразование, которое задается уравнениями:
X1-у І (і= 1,...,п).
Нулевую степень любой матрицы А мы согласно определению считаем равной единичной матрице: __A0 = E.
') При оперировании над матрицами необходимо заметить, что из равенства AB = (0) ни в коем случае не вытекает равенство нулю одной из матриц А
или В, как это видно из примера A= (qq) > ? = (o l) * IO
Алгебра линейных преобразований Гл. I
Установив определение степени Ah матрицы, можем также дать определение многочленов, аргументом которых является матрица. Если
/(*) = + ^X + V2 + • • ¦ + атхт
есть многочлен т-й степени относительно X, то равенство
ДА) = A0 -f O1A +... + атАт
определяет матрицу /(А) как целую рациональную функцию матрицы А. Определение матрицы как функции /(А) от А можно иногда распространить и на случаи, когда выражение с помощью многочлена уже невозможно. Так, например, матрицу еА определяют при помощи равенства:
При этом такой ряд имеет следующий смысл: сперва нужно взять сумму первых N членов, а затем надо исследовать, сходится ли каждый из п2 элементов полученной таким путем матрицы при неограниченном возрастании N; матрица, составленная из nz предельных значений, принимается в этом случае за значение ряда. В даннрм частном случае матрицы еА ряд, как будет далее доказано, всегда сходится. Особенно важное соотношение между матрицами получается, если
выбрать за функцию /(А) „геометрический ряд". Пусть
+ + +
Умножая это равенство, определяющее матрицу Sm, на А, мы приходим к равенству:
SmA +E=Sm+А™ из которого следует, что
SJE- А)=Е — Ат+1.
Если с возрастанием т матрица Sm стремится к определенному пределу 5" и, следовательно, матрица Ат+Л стремится к нулевой матрице, то для определенной при помощи бесконечного геометрического ряда
OO
4=0
матрицы S имеет место ,соотношение:
S(E-A) = E.
Вопрос о том, когда бесконечный геометрический ряд или, как его иногда незывают, ряд Неймана, составленный из матриц, сходится, мы рассмотрим н следующем параграфе.
Над многочленами из матриц можно оперировать совершенно таким, же образом, как и над обыкновенными многочленами относительно х. Например, из тождества двух многочленов относительно х вытекает со- § 1
Линейные уравнения И линейные преобразования
9
ответствующее тождество многочленов для произвольной матрицы А. Так, тождеству
+ 2*а-f 3* + 4 = -+"1) (* + 2) + (2jc-f 2)
соответствует справедливое для всякой матрицы А соотношение: Л3 -f 2Л2 -f ЗЛ + 4 = (A«.-f- E) (Л + 2Е) + (2Л -f 2Е).
Подобным же образом разложению на множители
/(*) = ?+?*+... +em** = flm(* — *i) (* — *») ..-(* — Xm),
где JC1, Jc2, ... , Xm суть корни многочлена /(jс), соответствует матричное равенство:
ДА) = + A1Л +... -f атЛ* = O0 (Л—JC1E) (Л—X2E)... (А—хтЕ),
имеющее место для любой матрицы Л.
Обычно к каждой матрице Л с компонентами aik относят другие матрицы. Элементы матрицы могут иметь и комплексные значения. Ecnnalk является комплексным числом, сопряженным с alk, то матрицу Л = (а1к) называют сопряженной матрицей; далее, матрицу A' = (akl), получающуюся из Л заменой столбцов и строк, называют транспонированной матрицей; наконец, А* = А' = (аи) называют сопутствующей (begleitende) матрицей; она. получается, следовательно, переходом к сопряженным комплексным величинам и заменой строк и столбцов. Всегда имеет место равенство:
