Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
1 _J__1
') Этот пример иллюстрирует тот факт, что конечному числу синусоидальных волн в оптике никогда не соответствует резкая спектральная линия, а спектр конечной ширины, который будет тем уже и интенсивнее, чем при данной частоте больше число волн.
2) Szego G., Uber dichte Funktionenfamilien, Berichte der Sachs. Akad. d. Wiss.
zu Leipzig, т. 78, 1926. 04
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
образуют в любом конечном положительном интервале полную систему функций.
Из этой теоремы следует так же и плотность нашей системы, так как любая подпоследовательность чисел In обладает требуемыми в условии теоремы свойствами.
На основании теоремы Вейерштрасса об аппроксимировании достаточно доказать, что любую степень хт можно равномерно аппроксимировать при помощи функций -г- .
Но рациональная функция
т _
(х Ipj (х + X^1) ... (* +\)
сходится при возрастании р при любом q р к хт и притом равномерно во всяком конечном положительном интервале. Если будем выбирать всякий раз q — то можно будет рассматриваемую рациональную фу-нкцию путем разложения на элементарные дроби привести к виду:
Ар ._¦_ АР*і . j Ач
где Ap, Ар+1,____ Ag, — постоянные числа, так как мы можем считать, что -все ~кп различны между собой. Но полученное выражение представляет собой линейную комбинацию функций исследуемой системы.
Другие примеры плотных систем функций были указаны Мюнцемг).
6. Теорема Г. Мюнца о полноте системы степеней. Мюнц2) указал следующую интересную теорему.
Бесконечная последовательность степеней 1, х\ х1', ... с возрастающими положительными показателями представляет полную систему функций в интервале' 0 ^ х sg 1 в том и только в том случае, если оо
ряд J_ расходится.
Xv
7. Теорема.Фейера. Из теоремы Вейерштрасса об аппрокси* мировании мы вывели заключение, чхр любую непрерывную периодическую функцию можно равномерно аппроксимировать при помощи тригонометрических многочленов. Мы можем получить такие аппроксимирующие многочлены очень просто на основании следующей теоремы, найденной Фейером3). Если f (х) — непрерывная периодическая функция.
») Muntz H., Dichte Funktionensysteme, Mathem. Zeitschrift, т. 21, 1924.
2) Muntz H., Uber den Approximationssatz von Weierstrass, Festschrift H. A. Schwarz, 1914, стр. 303: Szasz 0.. Uber die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen, Math. Ann, т. 77, 1926.
3) Fejer L., Untersuchungen fiber Fouriersche Reihen, Math. Ann., т. 58, 1904. § 10 Дополнения и задачи ко второй главе 95
Sn(X) — частичные суммы ее ряда Фурье, то последовательность средних арифметических
і nt
sn(х) = + =Ц/(Х+І)' s,n"
nit \ о • t
2 sin
dt
2
сходится равномерно к f(x)1).
Аналогичная теорема имеет место для интеграла Фурье. Пусть функция f(x) непрерывна в любой конечной области, и пусть со
существует интеграл ^\f(x)\dx; мы полагаем -оо
со
-00 T
M*) = ^g.(t)e'xtdt,
— Т
тогда последовательность арифметических средних
Г 00 /sin—Y
= у \ St(X) dT=~ ^ f(X -}_ t) ( - А I dt
равномерно сходится во всяком конечном интервале к функции /(х). В частности сходимость равномерна во всем интервале — оо<^лг<со, если функция f(x) равномерно непрерывна во всем этом, интервале. 8. Формулы обращения Мел и на2).
Теорема 1. Пусть s=o-j-/t — комплексная переменная. Допустим,
ос
что функция f(s) регулярна в полосе a<a-<? и что ^ dt
ш!
-со
сходится в этой полосе. Пусть, далее, в каждой более узкой полосе Gt -}- § :? О :? ? — § есть произвольно малое постоянное число
функция f(s) равномерно стремится к нулю с возрастанием абсолют-
') См. примечание в конце книги.
2) Mellin H., Uber den Zusammenhang zwischen den linearen Differentilai- und Differenzengleichungen, Acta Math., т. 25, стр. 139—164, особенно стр. 156-162, 1902;-Ftijiwara M., Uber Abelsche erzeugende Funktionen und Darstellbarkeitsbe-dingungen von Funktionen durch Dirichletsche Reihen, Tfthoku math. J., т. 17, стр. 363—383, особенно стр. 379—383, 1920; hamburger H., Uber die Rlemannsche Funktionalgleichung der C-Funktion (первое . сообщение), Math. Ztschr., т. 10, стр. 240—254, особенно, стр. 242—247, 1921. 96
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
ного значения ординаты і. Полагая при этих условиях для действительных положительных значений х
o-fOO і
= ~ j x-*f(S)ds, (38)
о-сог
причем о сохраняет постоянное значение, получаем, что в полосе a<a< ? имеет место соотношение:
со
Zr(S)= j xs-ig(x) Йх. (39)
о
Доказательство. В силу допущения, что f(s) равномерно стремится к нулю при —8 и I11—>оо, мы имеем право в формуле (38) смещать прямую, по которой производится интегрирование. Следовательно, функция g(x) не зависит от о. Выберем две абсциссы O1 и о2, удовлетворяющие условию а < C1 < с < O2 ?; тогда со і QOi
§x*-lg(x)dx= j**•-!(/* J-. j *-'•/(*,) ds,+
'о 0 o1-coi
со о,+оо1
+ \Х*~ЧХ}кі J x-*f(s2) (Is2 = J1 +J2.
1 os — СО і
В этих интегралах мы имеем право изменить порядок интегрирования, так как на основании оценок
