Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
оо і
IЛI < ^ j 1/( O1 + Щ I W J dx,
-CO о
с» оо
U2I^J 1/(? + «>I dt j *->+<-=») dx
-со 1
имеет место абсолютная сходимость. Таким образом получаем: OO 3s-(-00i ot—со«'
1 ^-я 1
о os-co/ h1-co /
Разность, стоящая в правой части, равна f(s) на основании интегральной формулы Коши. В самом деле, интегралы, взятые по Горизонтальным отрезкам между вертикальными прямыми O = O1 и O = O2, при 111 —»оо исчезают, так как f(s)—>0.
Теорема 2. При л;>0 пусть функция g(x) будет кусочно-глад-
OO
кой функцией, а интеграл ^ х?~^(х) dx при a<c<C?— абсолютно
о Дополнения и задачи ко второй главе
97
сходящимся. При этих условиях из формулы (39) следует обратная ей формула (38). '
Доказательство. Полагая х = е", имеем:
о + 00< СО со
-1— j1 x~sf (S) ds= 1- j" Є-«("+Л) dl I ev^+t')g(ev) dv-
О — OO' —00 —00
OO СО
-Oa
і* і
~ \ dt \ e"(v-u)ev°g(ev) dv.
00 . -OO
На основании интегральной теоремы. Фурье (16) последнее' выражение равно e~u°euag (eu)=g(x), что и требовалось доказать. Примеры на преобразование Мелииа. а) Пусть
[1 При1 О < at <1
g(K) = i~ „ X = 1
о „ *>1
Так как интеграл ^ Xc^g(X)dx абсолютно сходится при о^>0, то о
СО
f(s)=jxs~ig(K) dx=-L (a>0)
о
из соотношения
СО
вытекает формула:
в+СО і
О-00 І
Эта формула играет роль в теории рядов Дирихле, б) Из соотношения
00
г (s) = j xs-h~xdx (о > 0)
о
следует:
.-.=J- Г Im J
в) Формула
7 Курает-Г»ль6ерт.
в+00<
Jt-*r(s)ds(a>0).
о—СOi
СО
T(S)C(S) = Jg^dx (о>1), 98 Задача о разложении в ряд произвольный; функций Гл. II
где C(s) означает риманову дзета-функцню, дает:
e+COi
«—оо<
г) Обращением формулы
00 со 00
является формула:
O+00I
s — OOi
Формула преобразования интегралов Мелина является важным вспомогательным средством в аналитической теории чисел и вообще часто встречается в' анализе.
9. Явление Гиббс а. Если вычертить для кусочно-гладкой функции f(x) волнистые кривые, изображающие частичные суммы ее ряда Фурье, то оказывается, что во всяком интервале, ие сбдержащем в себе точек разрыва, в котором ряд Фурье сходится равномерно, эти кривые все более и более примыкают к кривой, изображающей функцию /(*); однако в непосредственгіой окрестности точек разрыва, где сходимость неравномерна, имеются волны, которые все ближе и ближе подходят к точке разрыва и становятся все более узкими, но отклонение которых от кривой у = /(*) не стремится -к нулю. Это явление называют явлением Гиббса1). Чтобы подробнее изучить это явление, можно на основании рассуждений § 5 ограничиться рассмотрением специального ряда Фурье:
со .
U-^X ЧГЧ Sin V* /п - . 0 .
Л V = I У
Пользуясь формулой
*
, . " sinv* * ,С^ + т)^
'=I \ 2 sin —t
о
1 Этот факт был сперва обнаружен Гиббсом чисто эмпирическим путем. Gibbs J. W., Fourier's series, Nature, т. 59, стр. 2j0, стр. 606, 1898—1899, Papers, т. 2, стр. 258—260, London, New York and Bombay 1906. Дополнения и задачи ко второй главе
9
мы. можем представить остаток ряда в виде:,
X
„ f Sinvx Sin(^i1)/
'„(*).= Z- --2 \-1-dt
4="+J 1 2 sin у t
яли в виде:
(¦+j),
п Г SinT. , М*)=2~— J —<«+Р*(*).
Alt
r (V 71 fsinx . . / 2kn \
где для краткости полагаем
л
I 2sin — —t
P«(*) = \-«и (* + і) /
J
о
Как легко убедиться при помощи диференцирования, приближение является наихудшим в точках
2klX IU 1 О- 1
**=аї+ї ( ' ' И)'
в которых остаток достигает максимума или минимума
ы
•П
г
' «' 2
о
С возрастанием п при постоянном значении k выражение ря стремится к нулю, следовательно, остаток гп(хк), т. е. отклонение ап-
71-X
проксимирующей кривой ОТ кривой у= —2— в точке Xk, неограниченно приближающейся к точке разрыва, стремится к значению:
А*
/ ч 71 TsinjcJ lim rn(xk) = ~ — \~~dx.
«—»GO 4 Jx
о
Например, Iim Kn(X1) =5=-0,2811, т.е. аппроксимирующая кривая под-
н -+СО
TT-X
нимается над кривой _у=——— на расстояние, составляющее приблизительно 9°/0 высоты скачка функции1).
Q Bocher M.. introduction to the theory of Fourier's series. Annals of math-, серия 2, т. 7 стр. 81—152, особенно стр. 123-132, 1906; Runge Г., Theo ie und Praxis der Reihen, стр. 170—182, Leipzig 1904. Относительно обобщения явления
7*
ґ 2 fen \ ?« V2H- 1/ 100
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
Подчеркнем еще тот факт, что при аппроксимировании с помощью сумм Фейера явление Гиббса не имеет места.
10. Теорема об определителе Грама. Пусть G' является частичной областью основной области G, й пусть функции <р,, <р2, ... , кусочно-непрерывны в области G; если Г есть их определитель Грама для области О, а Г' — для области G', то
Доказательство непосредственно вытекает из максимально-минимального свойства собственных значений. В самом деле, Г представляет произведение характеристических чисел квадратичной формы:
Л" (M) = j\'i<f>i + • •. + tn4j2 dG,
Г' представляет соответствующее произведение для квадратичной формы
