Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
от 0 до 2тт, в то время как s пробегает значения от 0 до L, и назовем коэфициенты Фурье от функций хну через ov, bv и cv, dv; тогда
dx dy
коэфициентами Фурье для функций — и — будут v b , — v а, и v dv,
dt dt
•—vcv. Так как
о
мы получаем из условия полноты (9) и (9f) соотношения:
о v=i
2*
? = i =
it TT J dt
о V=1
Из двух последних формул следует: сю
1% _ 4ttf= 2тт2 ? [(Vav — <)2-f (у*,-f с? +(v2-i)^ d2)] ^ 0.
V=I
Знак равенства может иметь место, очевидно, только в том случае, ее л н
Ai + Ci = °> Oj-Cl1 = 0, av = Av = cv = rfv=0 при v= 2, 3, ... ,
<) Hurwitz. A., Quelques applications gdometriques des series de Fourier, Ann. Ec. Norm., Serie 3, т. 19, стр. 357—408, особенно стр. 392—397. Дополнения и задачи ко второй главе
91
т. е. если
X= ~ а0 -j-oj cost -f- bt sin/, «
у = -і- C0 — b^ cos t -j- a j sin t,
и, следовательно, кривая является окружностью. Вместе с тем для всех непрерывных замкнутых, кусочно-гладких плоских кривых справедливо „ изопериметрическое неравенство ".
?2 _ 4lTF^ о, (37)
где L— длина кривой, a F— площадь, заключенная внутри кривой; знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда кривая является окружностью. Тем самым доказано изопериметрическое свойство круга.
2. В з a ijm н о обратные формулы. Требуется доказагь эквивалентность формул J):
і
f(t) = ^g(u)ctgu(t-u)du,
и
1
I1
g(u)=\ f (t) CtgTT (И -t) dt,
причем предполагается, что
і і
^g (и) du = 0, j f(t)dt = 0,
g\u) = g(u+\), °f(t)=f(t+\)
и что берется „главное значение" интегралов в смысле Коши, сначала, с помощью теории рядов Фурье, а затем с помощью теоремы Коши.
3. Интеграл Фурье и сходимость в среднем. Теорию интеграла Фурье можно развить так же, как и теорию рядов Фурье, исходя из понятия о сходимости в среднем.
Пусть действительная или комплексная функция f(x) кусочно-непрерывна в любом конечном интервале, и пусть существуют интегралы: OO OO
^\f(X)\dx и J |/(х)|2 dx.
-OO -OO
Попытаемся дать наилучшее приближение в среднем функции f(x) с помощью интегралов вида:
q>(/) elxt dt.
т
і) См. Hilbert D., Integralgleichungen, стр. 75. 92
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
т. е. придать интегралу
оо
^ /(лг> — j (j) (t)eix'dt
-со -г
при постоянном значении Г наименьшее возмржное значение.
На основании следующего преобразования, которое нетрудно доказать,
з со
dx = J i/(*)|»fc*-f
OO T
-co -T
T T
+ |<p(*) —g(K)\*dx — 2n g(x)\*dx,
— T —T
где
CO
g(x)
-CO
обнаруживается, что наш интеграл принимает наименьшее значение, когда
<р (t)=g{t).
Далее, в пределе при 7—>со получаем соотношение полноты:
оо со
JkWI^AT = Jjt Jl/W I 2 dx. -OO -OO
Доказательство этого предложения, как и переход к интегральной теореме Фурье, мы здесь, однако, приводить не станем. !
4. Спектральное разложение с помощью ряда Фурье и интеграла Фурье. Ряд Фурье и интеграл Фурье встречаются в тех вопросах, где речь идет о выражении данного процесса или хода изменения данной функции в вйде наложения периодических процессов или периодических функций, или, как говорят, о спектральном разложении процесса.
Если f(x) есть заданная в интервале —I ^x функция, а
СО /лог
^ = -CO
ее ряд Фурье, то говорят, что функция разложена на периодические функции с „дискретными частотами"
Vrt
T
(v = 0, 1, ...) Дополнения и задачи ко второй главе
93
и „амплитудами"
—і
I г.-J X
f(x)е 1 dx
Если же рассматривают бесконечную область —оо<^лг<[оо, то говорят о разложении f(x) в непрерывный спектр, причем частоте и соответствует плотность спектра
со
tf(B)= ^f(x)e-iu*dx.
-со Функция
/(к) = еішх при |дг|</, Zr(AT) = O при М>/,
1(0
соответствующая конечному отрезку синусоиды, состоящему из я =—
TT
волн, представляет принципиальный интерес для физики1). Для этой функции плотность спектра равна:
і
/V Г ,і , „w , 2 sin (а> — и)1
со — и
і
При и = to функция I g (и) I, рассматриваемая как функция от и, имеет максимум, который тем резче выражен, чем больше число волн я. При больших значениях я плотность спектра для значений и, лежащих вне произвольно малого интервала to — 8 sg и sg to 8, будет сравнительно очень мала.
5. П лотные системы функций. Следуя Г. Мюнцу (Muntz), мы будем называть плотной системой5 функций систему, обладающую тем свойством, что всякая функция f(x), которая может быть аппроксимирована в среднем с любой точностью при помощи конечного числа функций этой, системы, может быть таким же образом аппроксимирована и при помощи функций из произвольно выхваченного из первоначальной системы бесконечного частичного множества. Замечательный факт, что существуют нетривиальные примеры таких систем (тривиальным случаем, например, является тот, когда все функции равны между собой), проще всего можно установить, следуя Сего (Szego)2), на основании следующей' теоремы. Если \2, .. , \п,...—положительные числа, которые с возрастанием п стремятся к бесконечности, то функции
