Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 40

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 202 >> Следующая


K1W <) = j(<,4>!+ ...+

O1

но ясно, что

K'(t, t)^K(t, t),

следовательно, и каждое характеристичеЬкое число для формы K'(t, t) не больше соответствующего характеристического числа для K(t, t).

Другое доказательство можно получить- из следующего выражения определителя Грама:

і і

«Р tfkdx

о о

?i (*i) <fi (хІ) • - ¦ Ь (xn) s

%(*i) ?»(xt) - • - VfixJ



fifXj ... dxn

причем Mці для краткости предполагаем, что функции зависят только от одной независимой переменной х, изменяющейся в основной области 0<^JC<^1; это выражение в точности соответствует формуле (45) первой главы 1J.

11. Применение понятия интеграла Лебега. Многие факты и соотношения, установленные в этой главе, существенно дополняются, если вместо элементарного приятия риманрва интеграла положить в основу понятие интеграла, формулированное Лебегом. Для этого приходится расширить класс функций, рассматривая все функции, интегрируемые в смысле Лебега, или, как говорят, все суммируемые функции, и нужно воспользоваться основными фактами из теории Лебега. Теория Лебега исходит из понятия меры точечного множества SDi; мы

Гиббса на другие ортогональные системы функций и специально на системы таких функций от многих переменных CM.Xfreyl H., Die Gibbssche Erscheinung in der Theorie der Kugelfunktionen, Rend. Circolo mat. Palermo, т. 29, стр. 308 ч 323,1910; Uber die G'bbssche Erscheinung und verwandte Konvergenzphanomene, там же т. 30, стр. 377—407, 1910.

4) См. Kneser A., Zur Theorie der Determinanten, Festschr. H. A. Schwarz, стр. 177—191, Berlin 1914, a также Kowalewski G., Determinanten. § lu

Дополнения и задачи ко второй главе

101

предположим, что оно лежит в конечном интервале. Представим себе, что все точки множества SJt каким угодно образом включены в счетное множество интервалов, причем эти интервалы могут частично покрывать друг друга.

Пусть т является нижней границей суммы длин таких интервалов; пусть, далее т' будет , соответствующей нижней границей для точек дополнительного множества SJt' т. е. для множества всех точек данного интервала, которые не принадлежат множеству 2R. Если число т~\-т' равно длине интервала, ,то множество SJt называется измеримым и число т называется мерой этого множества. Согласно этому определению любое счетное множество точек имеет меру нуль (есть „множество меры нуль").

Если возьмем теперь функцию f(x), определенную в интервале Q (a ^x =^ Ь) и ограниченную в этом интервале, значения которой принадлежат некоторому интервалу J, то мы разобьем этот интервал на частичные интервалы J1, J2, ... , Jn; если для каждого частичного интервала Jf существует мера т, точечного множества в~ G, на

котором функция /(х) принимает значения из Jj, то функция /(х) Hart

зывается измеримой в G. В таком случае сумма У, w,/,-> в которой /,

означает значение функции / из интервала Jj, стремится., к определенному пределу, не зависящему от специального выбора предельного перехода, если только длины интервалов J, равномерно стремятся к нулю. Этот предел называется интегралом (Лебега) "от функции f(x) и обозначается/ так же, как и обыкновенный риманов интеграл, естественным обобщением которого он является. Для функции, которая имеет отличные от нуля значения только на множестве меры нуль, интеграл всегда равен нулю. Мы можем, следовательно, представить себе, что, на произвольной множестве меры нуль, например, во всех рациональных .,точках значения функции произвольно изменены, но это не повлияет на значение интеграла, это указывает, что при помощи нового определения мы значительно расширили класс интегрируемых функций. Функцию, интегрируемую в смысле Лебега, называют суммируемой функцией.

Понятие интеграла Лебега может быть распространено также на функции, которые не остаются ограниченными в рассматриваемой области. Для этого мы сперва интегрируем по тем частичным областям, в которых \f(x)\ и затем неограниченно увеличиваем число N.

Если при этом интеграл стремится к определенному пределу, то этот предел и называется лебеговым интегралом, взятым по всей области.

Для нас важны, следующие положения, которые можіїо вывести на основании только что установленных понятий.

а) Теорема сходимости Лебега. Если дана последовательность суммируемых в интервале а___b функций и если для любого значения х

из нашего интервала функции fn (х) стремятся с возрастанием п к функции F(x), то можно и- в том случае, когда сходимость не равномерна, заключить, что имеет место соотношение:

/= і 102

Задача о разложении в ряд произвольный; функций Гл. II

коль скоро все функции /я (-л) по абсолютному значению остаются меньше некоторой грани, не зависящей от п.

Впрочем, достаточно даже, чтобы имело место неравенство:

где tp (х) определенная, не зависящая от п суммируемая функция.

Эти теоремы позволяют доказать законность почленного интегрирования бесконечных рядов во многих случаях неравномерной сходимости.

б) С ходимость в среднем. Пусть последовательность функций /i (*")> •/« (х)г ¦ • • состоит из суммируемых функций, квадраты которых также суммируемы, и пусть
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed