Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
И" [(fn—fmf dx = 0.
т-*СО )
«? ->0О
Тогда говорят, что последовательность функций f„(x) сходится в среднем. Имеет место теорема: из каждой такой последовательности функций можно выделить подпоследовательность /я., которая сходится к суммируемой функции f(x) повсюду за исключением, быть может, множества меры нуль.
в) Георема Фишер-Рисса1). Эта теорема может быть выражена в двух эквивалентных формах.
Формулировка Фишера. Пусть функции Z1 (х), /s (х), ... и нх квадраты суммируемы, и пусть
Hm [itn—Jja* = О-
г'-»СО I
т->00
В таком случае существует суммируемая функция /(•*)> квадрат которой также представляет суммируемую функцию, такая, что
і™ [[/(*) -/„(*)]¦<**= О-
и—>00 J
Формулировка Рисса. Если W3 (х), со2 (л:), W3 (je), ... — произвольно заданная система ортогональных функций и если ау, а2, as,___—лю-
OO
бая последовательность действительных чисел, для которой ряд с ®
v = i
сходится, то существует суммируемая функция f(x), квадрат которой также суммируем, такая, что = ( tu.J. С помощью этой теоремы мы устанавливаем, что соотношения § 1 обратимы, если только указанным образом расширить класс функций и понятие интеграла.
г) Полнота и замкнутость системы функций. Система функций называется замкнутой, если не существует нормированной функции, ортогональной ко всем функциям системы; при этом мы раз навсегда предполагаем, что рассматриваемые функции и их квадраты суммируемы.
') Riesz F. Sur Ies systemes orthogonaux de fonctions, С. R. Acad. sc. Paris, r." 14t, стр. 615—619, 1СЮ7; Uber orthogonale Funktionensysteme, Nachr. Ges. Gottingen (math. phys. Kl.), стр. 116-122, 1907; Fischer F.., Sur la convergence en moyenne, С. R. Acad. sc. Paris, т. 144. стр. 1022—1024, 1907. Дополнения и задачи ко второй главе
103
Тогда справедлива теорема: всякая замкнутая система функций является полной системой, и обратно. В самом деле, если функция /(к) не равна нулю, за исключением, быть может, точек множества меры нуль, и ортогональна ко всем функциям системы со3 (лг), <о2 (*), ... , которую мы считаем ортогональной, то
со
(/,<о2<
4 = 1
следовательно, система функций не является полной системой. Обратно, если система не является полной системой, то существует такая функция f(x), что
P со
J V=I
Oi = (/, Wv);
в таком случае функции
и'
/.asZ-JeA
V = I
»а основании теоремы Фишера-Рисса (формулировка Фишера) сходятся в среднем к некоторой функции <р(jt), которая ортогональна ко всем функциям го.,. Таким образом система не может быть замкнутой.
Литература к главе II. Учеб ник и:
Borel E., Lefons sur Ies fonctions de variables reelles et Ies developpements en sdries de polynomes, Paris 1905.
Carslaw H. S., Introduction to the theory of Fourier's series and integrals, 2-е іізд., Lo.idon 1921.
Heine H., Handbuch der Kugelfunktionen, т. 1 и 2, 2-е изд., Berlin 1R78 и 1831. Hilbert D., Grundzuge eine, allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Leipzig 1912 (цитир. „Integralgleichungen.).
Hobson E. W., The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier's series, Cambridge 1907.
Lebesgue H., Lentis sur i'intdgration et la recherche' des fonctions primitives Paris 1904; Lefons sur Ies sdries trigonometriques, Pa Is 1906.
Whittaker E. T. and Watson G. N., A course of modern analysis, 3-е изд. Cambridge 1V20.
Монографии и статьи:
Boeher M., Introduction to the theory of Fourier's series, Annals of math., серия 2, ¦ - 7, стр. 81—152, 1906.
Courant R., Uber die Losungen der Differen ialgleichungen der Physik, Math. Ann., т. 85, стр. 280 —325 19^2; Zur Theorie der linearen Integralgleichungen, там же т. 89, стр. 161-178, 1923.
ft'.tbert D , Uber das D richletsche-Prlnzip, Festschr. Ges. Gottingen 19Э1, Berlin 1901: вновь напечатано Math. Annalen, т. 59, стр. 161—186, 1904.
Montel P., Sur Ies suites intinies de fonctions, Ann. Ёс. Norm., серия 3, т. 24, стр. 233 - 334, 1937.
SzegO G., Beitrag zur Theorie der Polynome von Laguerre und Jacobi, Math. Zeitschr., т. 1, стр. 3 1—356. 1918; Uber. Orthogonalsysteme von Polynomen там же т. 4, стр. 139—157, 1919; Ober die Entwicklung einer willkurlichen Funktion nach den Polynomen eines Orthogonalsystems, там же, т. 12, стр. 61—94, 1922.
f2dx, глава iii.
Теория линейных интегральных уравнений.
§ 1. Предварительные соображения.
1. Обозначения и основные понятия. ,Пусть K(s,t) — определенная в области a S=^ft, a s^t ^b и непрерывная в этой области функция обоих переменных s и t, и пусть X — параметр. Пусть, далее, f(s) и (p(s) — две, непрерывные в интервале a sg: s^b функции переменной s, связанные функциональным уравнением:
/(*) = <f (¦*) — j t) <Р (0 dt. (1)
(Условимся раз навсегда, что интегралы без дальнейшего обозначения области интегрирования должны всегда распространяться по вышеуказанной „основной области" переменных.) Посредством функционального уравнения (1), которое мы будем называть линейным интегральным уравнением второго рода с ядром K(s,t), каждой непрерывной функции <р (s) отнесена другая f(s), и к тому же линейным образом, так что венкой линейной комбинации C1 tpt -(- c3<pt относится соответствующая комбинация CjZ1 -f- с2/2. Мы будем здесь заниматься преимущественно решением интегрального уравнения, т. е. вопросом об определении функции ф (s) по заданной f(s). При этом предполагаем, если только точно не -указано противоположное, что все встречающиеся величины действительны.
