Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
107
Произведения (Of(S) <dj(t) образуют систему q2 функций от s и t, заданных в квадрате a^s^b, a^t^b и взаимно ортогональных, а следовательно, и линейно независимых.
Если ядро А (s,t) симметрично, т. е. A (s i) = А (t, s) тождественно, то
ч
Yd (Cli — Cyf) Wl(S)Oi,(t) = О,
U= і
что в силу линейной независимости произведений W1 (s) 0),(/) означает, что Clj = Cjv
Симметрическое ядро K(s, t) всегда возможно равномерно аппроксимировать симметрическими выродившимися ядрами. Чтобы убедиться в этом, достаточно лишь, в случае необходимости, заменить A (s, t)
функцией -^-[A (s, 0 .A (t, s)], которая одновременно с A(s,t) равномерно аппроксимирует ядро K(s, і).
§ 2. Теоремы Фредгольма для выродившегося ядра.
Основные теоремы общей теории интегральных уравнений, доказанные впервые Фредгольмом 1) (Fredholm), полностью соответствуют основным теоремам теории линейных уравнений и могут быть формулированы следующим образом.
Интегральное уравнение
f (S)^tf(S)- l^K(s,t)y(t)dt (1)
при заданном X либо имеет для всякой произвольно заданной непрерывной функции /(s) одно и только одно непрерывное решение <р (s), в частности решение .(р —0 для f= 0, или же соответствующее однородное уравнение
ф (s) = Xj K(s, t) ф (t) dt (5)
имеет поляжиїЛе/іьное конечное число г линейно независимых решений ф,, фг, ... , фг. В первом случае соответствующее уравнению (1) „транспонированное" интегральное уравнение:
g (s) = у (s) — X J K(t, s) (р (t) dt (6)
также всегда имеет однозначно определенное решение", во втором же случае транспонированное однородное уравнение
I=X
X(S)=I \K(t,s)x(t)dt (7)
Q Fredholm J., Sur une classe d' Equations fonctionnelles, Acta math. т. 27. стр. 365—390, 1903. 108
Теория линейных интегральных уравнений
Гл. III
имеет также г линейно независимых решений , ,.., іг, а неоднородное интегральное уравнение (1) имеет решение в том и только в том случае, если заданная функция f(s) удовлётворяет г условиям
If> fc> = j/(*)Xi(s)dS = 0 (і == 1. 2, 3.....г). (8)
Решение уравнения (1) определяется в этом случае лишь до произвольной аддитивной линейной комбинации Cj(J)1 4- г2ф8 -f- ...-}-его можно сделать однозначно определенным с помощью требований'.
(«Р. rW = Фі(S) as-= 0 (/=1,2.....г),
Мы докажем эти теоремы прежде гсего для того случая, когда ядро K(s, t) = A(s,t) выродилось н представлено равенством (3). В этом случае теория нашего интегрального уравнения почти непосредственно сводится к теории системы р линейных уравнений с р неизвестными.
В самом деле, напишем интегральное уравнение в следующем виде:
р
f(s) = Cp(S)-X ? O1(S) і=1
положим X1==Cg1, tp), помножим затем уравнение (9) на ?y(s) и проинтегрируем по S, тогда для величин X1 получим систему уравнений:
р
ft — xJ-^l JLcJtxI (./—1,2, ...,/?), (Ю)
где fj = (?y, /) и Cj1(?y, aj). Если эта система уравнений имеет одно „ и только одно решение Xv х2, ... , хр, то функция
P
tp (S) =/(s) + X ? Xflt (s)
i=\
наверно является решением интегрального уравнения, что непосредственно подтверждается, если подставить эту функцию в интегральное уравнение, принимая во внимание уравнения (10). Если обозначить через Jf11J/,, ... , ур также существующее в этом случае решение транспонированной системы
р
<п>
/=I
P
то функция tp (s) =g(s) -]-? ^yiP (s) является решением транспониро-
I=I
ванного интегрального уравнения (6). Если, напротив, Jf1, х„, ..., Xp
МО <Р (')<«; (9) §3
Теоремы Фредгольма для произвольного ядра
109
есть нетривиальное решение однородной системы уравнений:
р
0 = х(/=Ь2.....р). (12)
(=1
р
то функция ф (s) = >. Xfll (s) является нетривиальным решением одно-І= 1
родного интегрального уравнения (5). Два линейно независимых решения X1, хг, ...,XpU х\ . . . , X2, . . ., Xp однородной системы (12), очевидно,
дают два линейно независимых решения
р р
и Ф' (S) = I^X1jZl(S),
/=1 /=1
и наоборот.
Однако наличие г линейно независимых решений фт, ф2, ..., ф,. уравнения (5) и тем самым г независимых решений системы (12) равносильно существованию такого же числа линейно независимых решений
Уп, уіг, ylp(l = 1,2, .... г) транспонированной системы уравнений:
р
Sj= УJ-lJdcIjyt (/= 1. 2. . • M Р), (13)
і=і
где gj=0, и тем самым наличию г линейно независимых решений:
Xt(S), Ъ(s)> ••••
транспонированного однородного интегрального уравнения (7), причем
(14)
J=1
Теоремы теории уравнений утверждают, однако, что в случае г=0 уравнения (10) а, следовательно, и (13) и (6) всегда' однозначно разрешимы, в случае же г>0 для разрешимости неоднородной системы (10) и вместе с тем интегрального уравнения (5) необходимо и достаточно выполнение для fj следующих условий:
JtZjyv =0 (/=1,2, ..., Л). (15)
/=і
В силу определения величин у^ и fj эти условия принимают следующий вид: (Zifc) = O (/р= 1,2, ...,г). (16)
Таким образом теоремы Фредгольма полностью доказаны для нашего случая.
§ 3. Теоремы Фредгольма для произвольного ядра.
