Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
2*
S1(Af)
_ з -L Г ~ 2 — 2it J
f(i)dt,
Tl — 1
sn (*) = -у + Xi ' C0S vx + bI sin V'V) ;
2-
1 f ( 1
= — j /(f) I"2" + ^^ cos vf cos vx -]- sin vt sin vx ^dt =
о v = l
2,1 і . y> , . П —1
V = 1
(1)
так как подинтегральное выражение имеет период 2п, 'то мы можем также записать sn (X) в виде:
2* л_
*«(*) = V J/(* + <) + ? C0Svf}^- (I')
О v=l
Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, находим:
п — 1 п — 1 п — 1
I V^ 1 V4 е Ы + 1 V^ ы 1 Є-І (л-Ot— eint
2:+2-c0s vt=2+±.--2-= 2 Le =2 -1-є*
v=l v = l V = —л+1
j ^("-т)("-T") J Sta (л-1)/
•ї (2)
it_ - it
Є 9 ^o
2 - 1 , sin 2- /
1 cos (л — 1) t — cos nt 2" 1 — cos / '
следовательно,
. . 1 Г ,. , .> cos (n — 1) t — cos nt ..
Sn (*) = 2Ї J f{x + ^-5---dt-
Итак,
1 — cos t
2rc
(I")
S1(X)+.
O
/. t\ / sin л T7 1
\2wz
21 /< iW* '
(3)
•Чтобы доказать соотношение lim S-n{x) = f(x), заметим, что для функции
ft-» оо Примечания
513
все частичные суммы S„(at), а следовательно, и их среднее арифметическое равны единице, т. е.
2*
nt\
Lffcf
Kn V, t
J Vsin 2
1 =sa M — 1Л <4>
Умножая равенство (4) на f(x) и вычитая из равенства (3), получаем:
2тс
s„ (X) -f(x) = ±^[f{x+fi-№\ f —т) dt (5)
Vs
Пусть S — произвольно малое положительное число; в.силу равномерной непрерывности функции f (х) можно определить такое зависящее только от е число S = S(е) в интервале 0<8<ic, чтобы при для всех значений х имело место неравенство
I /(*+0-/(*)!<«• Разбивая интеграл в формуле (5) на три интеграла:
2п S 2и —8 2ir
J-W+J
О О S 2л —8
и обозначая для краткости подинтегральную функцию через «(/), а максимум, |/(х) I через М, имеем:
8 8 2it
следовательно,
I Sn W-/OOI <& + ¦ ш
п sin2
33 514
Примечания
Но при достаточно больших значениях и > Ло (е) имеем:
2 M
И Sin2 -
следовательно,
Тем самым доказано соотношение
Iim Sn (х) =f(x),
п -» OO
а вместе с тем и полнота системы тригонометрических функций
1
COS VX sm ЧХ , . -
7= (V= 1,2,...).
]/2п ' ]Л '
Замечание. Из формулы (4) нетрудно путем перехода к пределу при я_»оО вывести формулу:
оо
Tsin2H . л о
Действительно,
2it я
«Л2
так как
в чем непосредственно убеждаемся подстановкой t = 2п— v. Выберем теперь столь малое положительное число 8, ,чтобы при О sg Ksg 8 < 1 имело место неравенство:
K(JEL)^I + ,, \sini// 1
где е — произвольно малое, наперед заданное положительное число. Разобьем наш интеграл на два и перепишем предыдущую формулу следующим образом:
1 =
• И + Примечания
515
D tit -
В первом интеграле полагаем: = и, тогда он примет вид:
nS 2
2 Г sin8« . — I -— du;
к J
второй интеграл меньше
так как
о
OO
.. ^ 2е [ sin2 и 4е
dt < — \ —т- du < —
Л ' I ч2 t
о
ЙН
в промежутке интегрирования (кроме того,
оо і оо і оо
оо і Oi
наконец, третий интеграл меньше
J
dt <
icrasina-jr- I WSin2-Jj-
б 2
При неограниченном возрастании п первый-интеграл стремится к
OO
2 Tsin2M . — \ —du, я J и2 о
третий интеграл стремится к.нулю. Отсюда ввиду произвольности s заключаем, что
со
2 Csin"udu=l
или
OO
Г Sin2 И (
J ISt'
о
Г sin2 wj л
j-^rda= 2-
К стр. 105 (16-я строка снизу):
Немецкий термин „quellenmassig", который мы Переводим „истокообразно подсказан физическими применениями. Пусть, например, изучается стационарное
HdCTft 1- 516
Примечания
В таком случае функцию g[s) = ^ K(s, t) h(t) dt (2) можно истолковать как
установившееся распределение температуры в стержне, усеянном вдоль всей своей длины от S = а до s = b источниками тепла мощности h(s). Функция h(s) есть »плотность распределения источников". Таким образом функция g(s) формулы (2) представлена с помощью источников (Quelle) или истоков. Отсюда термин: функция, представленная истокообразно. Читатель найдет другие аналогичные примеры в § 14 пятой главы.
К стр. 455 (15-я строка снизу):
* (х- ^W (С«-1);
во взрезанной плоскости (черт. 12) значения arg (С — 1) и arg (С + 1) будут однозначно определены, если мы примем arg (С — 1) и arg (С + 1) равными^ нулю для положительных значений С > 1. Тогда
Згс ,„ .. п — ~2 < arS (С - 1J <Y
и в тех же пределах изменяется arg (С + 1). Вдоль пути Ci условимся считать
X--I
arg(P— l)=.arg(C — 1) -J-arg(JT-J- 1); тем самым значение (С2—1) 2 во взрезанной плоскости однозначно определяется. Вдоль пути C2 будем считать
arg (С2 - 1) = arg (С - 1) + arg (С + 1) + 2tt, х-1
т. е. берем другую ветвь функции (Z2-I) . При таком условии значения
).—L
функции (C2-I) 2 в точках пути C9 будут для действительных I комплексно сопряженными со значениями этой функции в точках пути C1, симметричных первым относительно мнимой оси.
В самом деле, обозначая через arg(C+l) угол, отсчитываемый во взрезанной плоскости по часовой стрелке от отрицательного направления действительной оси, по симметрии имеем:
