Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
arg (-T- 1) = ії?(С + 1), и arg (—Г + 1) = arg (С—1),
но
arg (ЇГ +1) = — л— arg(C + l) и arg (С — 1) =— п — arg(C — 1), следовательно,
' arg (- С - 1) + arg (-"С + 1) = - [arg (C-I) + в +«g(C + I)+2«l.
К стр. 456 (6-я строка снизу):
Вдоль пути Ш мы считаем: arg (С2 — 1) = 1 = arg (С —1)-(- arg (С -4-1), причем в точке А пере-
сечения этого пути справа с действительной осью мы принимаем:
--X arg (С — 1) = 0 и arg (С + 1) = 0
и непрерывно изменяем значения этих аргументов. N вдоль пути 21 в направлении обхода. Путь St мы
можем заменить контуром ABCDEFGHELMNA, Черт. А. ивображенным на чертеже А.
В самом деле, по теореме Коши путь ABCDO эквивалентен части пути % лежащей в первой четверти, путь ODEFO эквивалентен части пути Sf, лежащей в третьей четверти, и аналогично для остальных двух частей.
H
с
к D L
-1 F 0 M 1 Примечания
517
Если неограниченно удалять отрезки ВС и HK пути интегрирования, параллельные действительной оси, то виачения интегралов вдоль этих отрезков будут стремиться к нулю. Интеграл вдоль пути KLmNAB1, при этом в пределе будет равен интегралу вдоль пути Cil так как вначения arg (.J— 1) и arg(? +-1) вдоль части AtS определены одинаково в обоих случаях, а вдоль части KLMNA значения arg (С — 1) на 2п больше соответствующих значений на пути Cj, а значения arg(C-|-l) на 2я меньше, следовательно, и в данном случае значения arg (.C2 — I) одинаковы на обоих путях. Аналогично убеждаемся в том, что интеграл вдоль пути CDEFOU переходит в интеграл, взятый в обратном направлении по пути C2. Действительно, arg (С +1) имеет одинаковое значение на обоих путях, arg (С — 1) имеет значение на 2п большее, чем на пути C2, следовательно, в обоих случаях значения arg(?2—1) = arg (С— 1) + arg (С -f-1) -f- 2ч.
К стр. 457 (12-я строка снизу): Формула (16) на стр. 453 дает:
Hm f evv-ГЧі)dv,
г-»о (z)~>¦ 2*-2пг ) L
интеграл в правой части равен —ц (см. стр. 458, 459), т. е. не равен нулю, если I не является целым числом. Но в таком случае
iim-Ц?.>=Oft
JJz)
так ЧТО Z = O является особой точкой функции ^ .
К стр. 470 (16-я строка сверху):
При этом мы принимаем, что I > — 1, так как только в этом случае мы имеем право интегрировать от нуля. Легко видеть, что* и при отрицательных значениях ). > — 1 произведение t [E1Z(^)A(M) — ^(MVx(M)] ПРИ < = 0 равно нулю.
К стр. 471 (11-я строка снизу):
Jx(z) имеет бесчисленное множество действительных корней. Гурвиц (Hurwitz) доказал что если I лежит между — (2s -)- 1) и — (2s 2), где S^ 0 — целое число, то Jx(Z) имеет 4s -ь 2 комплексных корня, из коих два чисто мнимые; если I лежит между — 2S и — (2s + 1), то Jx(z) имеет 4s комплексных корней (чисто мнимых нет). См. Watson, A treatise on the theory of BesseL Funktions, гл. XV, стр, 483.
К стр. 491 (8-я строка снизу):
I. Для доказательства берем произвольную точку P (х, у, z), полярные координаты которой обозначим через г, », у, и точку Q на оси Z, расстояние которой р от начала О ^меньше г. Обозначив расстояние между точками P и Q через d, имеем:
d = jAs-t-ya-t- (z — ff = j/r2 -f-.p2 — 2/-p cos 8,
і Math. Ahn., XXXIII, 1889, стр. 246 -266, 518
Примечания
Разложим функцию , рассматриваемую как функцию от р, в ряд Маклорена
= T + [4г1=ор + ¦ •
JL^ d
следовательно,
и вообще
итак, получаем:
гР - ас*—р)* д
Ш)1
L Jp=O
(т)
dz
JL-I
d г
с другой стороны, имеем:
Ш1 ч ^»ш.
L V Jp=O- У ' Ъгп '
со
І 1 1 Vl „ Р"
гу 1-у COS»+(JrJ л=O
Сравнивая оба разложения, получаем искомое соотношение: pn(cosb) =
л! OZ"
К стр. 491 (3-я строка снизу)'.
II. Если повернуть все оси мультиполя на угол у> то потенциал нового мультиполя будет отличаться от прежнего только тем, что угол 9 придется заменить углом <р — Y- так как в системе координат, повернутой на угол Y вокруг оси z, выражение для потенциала осталось бы без изменения (непосредственным вычислением можно показать, что ^p0 есть угол между осью х п осью v,, что
а =--^зу и что потенциал мультиполя при нечетном я равен нулю для точек,
лежащих на оси z).
К стр. 508 (18-я строка снизу):
Это выражение удобнее представить, пользуясь формулой Валлисса, в виде: так как
1-3...(2(1-1) 1 _/ 1 Предметный
Абеля интегральное уравнение 146 Адамар, оценка определителя 32—33 Амплитуда 268
Аппроксимирование в среднем 44
— теорема Вейерштрасса об аппроксимировании 58
— одновременное аппроксимирование производных 61
Аргумент функциональный 156 Асимптотическое поведение
--бесселевых функций 314—315,
498 — 506
--функций Лежандра 507—508
--собственных функций Штурм-
Лиувилля 312—320 Асимптотическое поведение собственных значений 120, 273, 384—402 ----у диференциального уравнения Бесселя 393—394
-----в задаче Штурм-Лиувил-
ля 392
Асимптотическое число измерений 56
Асимптотические разложения 496—508
Бесконечно большое число переменных 35, 48—49,148—149, 165—171 Бесконечное возрастание собственных
значений 120, 273, 390 Бесконечно малое линейное преобразование 35—36 Бесселевы функции 286, 306, 350, 368, 380, 445—477
