Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
(в<1), (96) (а>1), (96') («=D, (96")
506
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
путем комбинирования по формуле:
Л(*) = M + Щ (*)].
Но в случае а 1 мы получаем таким образом для главного члена значение нуль. В этом случае мы можем выбрать также для получения Ji путь интегрирования, изображённый на черт. 216 сплош-IV I j j ной линией, и тем же методом получаем:
j Hr j І1 + 0HJ
[ Itt 5. Общие замечания по поводу метода У .. j перевала. Мы воспользовались методом перевала для j /'"Fx ! вычисления асимптотических формул, которые предста-J f I Л І вляют только первые члены асимптотических рядов, j \ j получающихся с помощью принципа, намеченного в начале. Что касается этих рядов, мы отсылаем к по-Черт. 26. дробному изложению у Watson G. N., A treatise on the theory of Bessel Functions, Cambridge 1922 и к оригинальным работам, особенно к статье Debye Р., Math. Ann., т. LXVII, стр. 535-558, 1909.
Впрочем, при применении метода перевала не является необходимым выбирать путь интегрирования в точности указанным образом; достаточно только, чтобы этот путь при больших значениях параметра, по которому производится разложение, достаточно близко подходил к указанному положению. Таким образом Г. Фабер получил целый ряд асимптотических разложений, например для полиномов Эрмита и Лагерра [см. FaberG., Sitzungsber. Akad. Munchen (math.-phys. Kl.), 1922, стр. 285 — 304].
6. Метод Дарбу. Другой метод для вывода асимптотических формул принадлежит Дарбу1). Пусть рассматриваемые величины Ov заданы как коэфициенты степенного ряда, т. е. при. помощи производящей
OO
функции K(Z) = У, QvCj- Если • известны особые точки этой функ-
V = O
ции на окружности круга схрдимости (пусть это будет окружность I Z I = 1, Z = е?г) и если можно путем вычитания известных функций
OO
'.fn (Q — У,а„уС достигнуть того, чтобы разность К—fn при приближении
V = O
к окружности круга сходимости равномерно сходилась к некоторой п раз непрерывно диференцируемой функции от ср, то коэфициенты ач — айЧ степенного ряда
оо
K(Z) -/„ -«иг
і) Darboux С., Memoire sur !'approximation des fonctions des tres-grands nombres, et sur une classe etendue de develop-ements en scrie, Journ. math, pures etappl., серия 3, т. 4, стр. 5—56 и стр. 377—416, 1878. См. также Haar А., Uber asymptotische Entwicklungen, Math. Ann-, 96. §6 Асимптотические разложения
520
являются коэфициентами Фурье п раз непрерывно диференцируемой (при п=0 непрерывной) функции от <р и удовлетворяют поэтому согласно гл. II, § 5, п. 3 условию:
Iimvn-1I av~a„.,I = 0;
'-»ОО
следовательно, значения anv дают при больших значениях v тем лучшее приближение к ?v, чем больше п.
7. Применение метода Дарбу к асимптотическому разложению полиномов Лежандра. Применим этот метод к полиномам Лежандра Pi (z), которые определены при помощи производящей функции:
1 OO
V=O
Допустим сперва, ЧТО — 1 1, И ПОЛОЖИМ Z= COStfi
Тогда 1—2zZ + Z2 =(Z — ef')(Z — е~ч'); радиус круга сходігмости'равен • единице, и на окружности его лежат особые точки ? = Чтобы получить разложения функции К по степеням ?— е-'-', мы условимся
под у С — разуметь следующее:
____ +j? + " ___
у 5 _ = е~ 2 \f1 — Ce+*',
где квадратный корень справа означает ту ветвь функции, которая выражается биномиальным рядом1). Тогда
1 -І-K(г, Q = r. [С — є?'+ (е<?1— е-"?')] 2= \'Х — е?'"
Зга
_____
tV5— Є" ?
Зга
4 J
• 1 & ~ 2 V
Y2 SintfVrC— е* vtgV V А Є?' — е-?'"
Полагаем
\f 2 sin <р|/С —е_<?/
/(f O=-L-
/я( ' g /2?? V Л (е^-ечу (
тогда К—/„ на окружности круга сходимости является непрерывной функцией, имеющей непрерывные производные первых п порядков.
*) Следовательно, если а — число положительное, то для ? = е?' — а корень j/Z—evi должен быть чисто мнимым и иметь положительный знак; наоборот, для K=е-ч1— а корень — е-? должен иметь чисто мнимое отрицательное значение. Условие, принятое в тексте, согласуется с требованием, налагаемым формулой (97), чтобы при C = O корень j/l — 2? + і? имел значение -+- 1. 508
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
Следовательно, разлагая fn по степеням С, имеем:
і V (-W LT-^'+^-Wd-ze-^r ^
/.('.O=-T==EI 2
J/2 sintp v=o \ V JV
4. е-T +'gIP'-*+'^1 - 21
' (е~ч' — e?')v J
(eul-е-?')4
1.
(e~'i' — et'y е ^ - v(<p+ж>' ~ и (tf+
+-ії^гтч^- J -.i»WW v..
rip
или
ч OO
1 |Л=0
е - л4' - -- у) ті - j (
"ЇЙ
отсюда получаем ^ . . . . .
^llW=PllltW+ 0(J1-'"),
притом равномерно во всяком интервале
-1+е<г<1—Є (0<е<1).
Если принять во внимание, что p„-fi, р. — Рп, ц= 0(рг " ~ 1), то отсюда
следует, что (2) = ^ (г) + о {vr\. -- 1).
Если ограничиться первым членом в этом асимптотическом разложении, то получим:
Если Z не является действительным числом, заключенным в промежутке между — 1 и -j- 1, то одна из особых точек Z1 по абсолютному значению меньше единицы, а другая Z2 по абсолютному значению больше единицы, так как S1C2=I.
На окружности круга сходимости | С | = | C-, I лежит только особая точка Z1, и только эту особую точку нам приходится принимать во внимание. Если мы поэтому преобразуем первые п иленов разложения функции K(z,Z) ПО степеням Z— Z1 в степенной ряд относительно Z, то коэфициенты его представляют асимптотические выражения для PtJz), с той, однако, разницей по сравнению с предыдущим случаем, что теперь имеет место соотношение:
