Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
IG1 —pnv) -Oip.-"-1). Примечания.
К стр. 71 (1-я строка снизу):
Интеграл Дирихле (Courant-Hilbert, 1-е издание, стр. 54—55). Пусть f(x) — кусочно-гладкая функция, а — произвольное положительное число, тогда имеет место формула:
а
lim V \ і
с-> OO 11 J
ЧІП 7/t 1
>00 * J /<* + ')—— dt = -ьШк + Щ-Пх-O)];
интеграл, находящийся в левой части этой формулы, принято называть интегра-
лом Дирихле. Прежде B4Cero докажем, что интегралы ^ и ^ при произвольно ма-
« ъ —а
лом постоянном значении і) стремятся к нулю, когда v -» оо. Применяем к первому из этих интегралов интегрирование по частям:
/(* + *U (см Pp d _ ITf Vc +і) соз Г Л и fcos vta f{x+t)
VJ t dt Vl t IJfJ dt t
rI ч 4
S означает сумму скачков функции ^ cos (іit) внутри интервала (і), а).
Так как выражение в квадратных скобках и подинтегральнре выражение интеграла, находящегося в правой части, остаются ограниченными при постоянном значении і), то наше утверждение доказано. Совершенно таким же образом проводится доказательство и для второго интеграла,
•>і
Чтобы найти предел интеграла j* f(x -J-1) dt), рассмотрением кото-
— ч
рого мы. можем ограничиться, мы рассмотрим разность ч ті ч
( H , *\sin vt JX J-/ ,„,fsinrf., Р/(* 4-1)-fix + 0) . ... I f(x + t) ——dt—f(x -f-0) I —-—dt= і —-~t ——- sin vt dt,
о o о
причем число ч выбираем настолько малым, чтобы производная от /(лг + f) была непрерывна при 0<<^ч. а также в интервале — ч =? f < 0.
Так как первый множитель под знаком интеграла остается по* абсолютному значению ограниченным и ^Af+, где M+ означает верхнюю грань абсолютных значений производной от f(x + t) при 0 < f =? ч, то наша разность по абсолютному значению =? M+ч. Подобным же образом получаем, что разность о оо
J /{х ьt)^dt-f (X-O) Jdt= jV(*+ ')-/(*-0)sinvtdt
- О - 1) -Tj 510
Примечания
по абсолютному значению меньше Mtl, где M — верхняя грань абсолютных значений f (х t) при —т) </<0. Таким образом мы получаем: '< ті
I J/(* + t) dt - (f(x + 0)-f f(K-0) j J^ ot I < (M+ + M-) Tj1
так как, очевидно,
7] о
fsin»f Г sin ff
J — J-'A
-?
Это неравенство имеет место равномерно для всех v 0. Но так как M+ и М~ безусловно не возрастают, если число ч > 0 уменьшается, то достаточно только обнаружить справедливость равенства
V
Iim р
V CXlJ
sin vt ., IU
Tdt = T
Путем подстановки vt — u находим:
Tj ®Г, OO
f sin Vt .. Г sin И , С sin U J
lim I —-— dt= lim t -du — \ -du.
v->OOJ * v OO J u Ju
• OOJ 1 v OOt
O O
Но из соотношения (см. стр. 514, 515)
OO
1
sin« t ,, т.
-Wdt=Y
интегрированием по частям находим:
оо оо оо оо
IC fsin2/ . sin'fl . Psin 2< ,, Г'sin« .
О ООО
т. е. получаем искомое равенство. Доказанную формулу можно, как это сделал Дирихле в своей классической работе положить в основание теории рядов Фурье.
К стр. 89 (9-я строка сверху)-.
I. Функцию F(X) строим следующим образом. Выбираем такое число А, чтобы
ОО. OO
J p(x)dx < Y (это возможно, так как по условию интеграл J f 'l(x) dx суще-
Л 0;
ствует). Далее строим непрерывную функцию F(х), равную нулю при X^ А, а в интервале 0 =? * =? Д отличающуюся от/(*) только в весьма малой окрестности каждой точки разрыва так, чтобы (см. стр. 49)
А
\[F(x)-f(xWdx<~,
і) См. Dirlchlet P.G.L., Sur la convergence des series trigonometriques qui servent a representor une fonction arbitraire entre des limites donnees. J. reine angew. Math., т. 4, стр. 157-169, 1829; собрание сочинений, т. I, стр. 117—13?, Berlin 1889. Примечания
511
тогда
оо
чтобы
\ [/(*)- /7Wl8 dx< е.
о
(16-я строка сверху):
II.'В самом деле, мы можем выбрать такой многочлен Cil -f- я2 S + ... + ап\"~
H
следовательно
-O^i I <jA ИЛИ [f (;) — ?j? — ...-"- Ядї"]8 <
1 1
f fr (S) - ^ — . . - <."]S f < f е; rfi = I < 3. о Ь
Производя подстановку $ = е~х, получаем:
^ [F(x) — а^е-х —... — апе~"х] «./л: < е. о
(8-я строка снизу):
III. После того как по данному t мы фиксировали число п, мы можем аппроксимировать в среднем каждую функцию ake-kx при помощи функции Qk(x), представляющей линейный агрегат ортогональных функций Лагерра, так, чтобы
оо
J [че~Нх - Qft(Jf)I2 dx < а (A = I.....я).
о
Далее, пользуясь неравенством Шварца, имеем: оо оо
[ [F(X)-(Q1 + ...+ QJpdx = - а,е-*~..а^-пх) +
Ь о
• OO
+ (а<е - X _ Q1) +. ..+ (апе-пх - Qn)]*dx = [ [F(x) - .. .—ane~nxfdx -f
—. о
п оо
+ J [F(X) -а,е-х-...-апе-ш] - Qk) dx +
k=і о
п OO
+ X J (a^kx - Qb] ^e-lx-Qi)dX^t-\ In ]/5Г+ nia.
k, e=l O
Выбирая a—-^, находим,что рассматриваемый интеграл меньше4е. Наконец, полагая для краткости Q1 ..-]- Qn — Q(x), находим:
OD OO
\ [/(*) - Q(X)VdX — ^ [(/— F) f.(/i-0)]2rfx<e + 2 |/Г4І + 4s = 9;. 512
Примечаний
К стр. 95 (4-я строка сверху):
Приведем здесь доказательство этой интересной теоремы (Courant-Hilbert, 1-е издание, стр. 48, 49).
Подставляя вместо av и 6, их выражения в виде интегралов, имеем:
