Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
С точки зрения цели, которую мы здесь имеем в виду, из этой общей части учения о протяженных величинах (где не делается никаких допущений, которые не содержались бы в самом понятии) достаточно особо выделить два пункта: первый относится к способу введения понятия многократно протяженной величины, второй касается того, как определение местонахождения в многообразии сводится к установлению ряда количественных (квантитативных) данных, причем выяснено будет и то, какому многообразию приписывается гс-кратная протяженность. О ГИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ 21
2
Предположим, что некоторому понятию сопоставлено непрерывное множество состояний, причем от одного состояния определенным способом можно переходить ко всякому другому; тогда все эти состояния образуют просто протяженное или однократно протяженное многообразие, отличительным признаком которого служит возможность непрерывного смещения на каждом данном этапе лишь в две стороны — вперед и назад. Предположим дальше, что это многообразие в свою очередь может быть переведено в другое, вполне отличное от первого многообразия, притом также совершенно определенным образом, т. е. так, что каждая точка первого многообразия переходит в определенную точку второго; все состояния, которые могут быть получены при подобного рода операциях, образуют дважды протяженное многообразие. Так же образуется и трижды протяженное многообразие: достаточно представить себе, что дважды протяженное многообразие определенным образом переводится в иное, вполне отличное многообразие. Легко понять, как можно продолжить это построение. Если условимся термину «определенный» противопоставлять в качестве противоположного термина «изменяемый», то можно характеризовать наше построение как составление изменяемости п + 1 измерений из одной изменяемости п измерений и одной изменяемости одного измерения
3
Теперь я покажу, как, обратно, изменяемость, связанная с некоторой данной областью, может быть разложена на изменяемость одного измерения и изменяемость меньшего числа измерений. Для этой цели представим себе переменную точку на некотором многообразии одного измерения (на этом последнем отсчет ведется от определенной начальной точки, и различные результаты измерения сравнимы между собой) и вообразим, что для каждой точки данного многообразия указывается некоторое положение упомянутой переменной точки с сохранением непрерывности; другими словами, на данном многообразии указывается некоторая непрерывная функция точки и притом такая, которая на некоторой части данного многообразия не может оставаться постоянной 2). В таком случае всякая система точек, в которых
«Изменяемость»— Veranderlichkeit. Этот термин Риман употребляет как синоним Mannigfaltigkeit, с целью облегчения правильного понимания. (Ред. сб. «Об основаниях геометрии».)
2) Нужно напомнить, что у Римана «точка» не есть часть «кривой» или «поверхности», «кривая» не есть часть «поверхности» и т. д. Вообще под «частью» многообразия подразумевается принадлежащее ему многообразие того же измерения. (Ред. сб. «Об основании геометрии».) 22 Б. Риман
функция сохраняет постоянное значение, образует непрерывное многообразие меньшего числа измерений, чем данное. Эти многообразия при изменении значения функции непрерывно переходят одно в другое; поэтому можно считать, что из одного из них получаются все остальные, причем происходит это, вообще говоря, так, что каждая точка одного переходит в определенную точку другого (случаи исключения, исследование которых существенно, здесь оставляются в стороне). В итоге определение положения на данном многообразии приводится к определению числового значения просто протяженной величины и определению положения на многообразии, протяженность которого меньшей кратности. Легко показать, что это многообразие будет иметь п — 1 измерений, если данное многообразие их имеет п. Повторяя указанную операцию п раз, мы сводим определение положения на многообразии гс-кратной протяженности к определению числовых значений п просто протяженных величин, т. е. определение положения на данном многообразии (если только такое определение возможно) — к указанию конечного числа числовых данных. Впрочем, существуют и такие многообразия, для которых определение положения требует указания бесконечного ряда или даже непрерывного множества числовых данных. Примером такого рода могут служить многообразия, образованные функциями в данной области, многообразия, образованные контурами геометрических фигур, и т. п. х)
II. МЕРООПРЕДЕЛЕНИЕ, ВОЗМОЖНОЕ НА МНОГООБРАЗИИ В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО ЛИНИИ ИМЕЮТ ДЛИНЫ, НЕЗАВИСИМЫЕ ОТ ИХ ПОЛОЖЕНИЯ, ТАК ЧТО КАЖДАЯ ЛИНИЯ ИЗМЕРИМА ПОСРЕДСТВОМ КАЖДОЙ
После того как построено понятие гс-кратно протяженного многообразия и установлено в качестве существенного признака гс-мерности, что определение положения на многообразии приводится к определению числовых значений п просто протяженных величин, мы перейдем теперь ко второму из поставленных выше вопросов, а именно к исследованию метрических отношений, возможных на таком многообразии, и к выяснению условий, которые являются достаточными для установления этих отношений. Метрические отношения могут быть исследуемы посредством отвлеченных величин и поставлены во взаимную связь с помощью формул; однако при некоторых предположениях их можно свести
