Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Начиная от Евклида и кончая Лежандром (я называю наиболее выдающегося из новейших исследователей основ геометрии), ни математиками, ни философами из числа занимавшихся интересующим нас вопросом упомянутые неясности не были устранены. Причина этому обстоятельству, как я полагаю, заключается в том, что общая концепция многократно протяженных величин, к которым относятся пространственные величины, оставалась вовсе не разработанной. В связи с этим я поставил перед собой задачу,— исходя из общего понятия о величине, сконструировать понятие многократно протяженной величины. Мы придем к заключению, что в многократно протяженной величине возможны различные мероопределения и что пространство есть не что иное, как частный случай трижды протяженной величины. Необходимым следствием отсюда явится то, что предложения геометрии не выводятся из общих свойств протяженных величин и что, напротив, те свойства, которые выделяют пространство из других мыслимых трижды протяженных величин, могут быть почерпнуты не иначе, как из опыта. В таком случае возникает задача установить, из каких простейших допущений вытекают метрические свойства про-
*) Вступительная лекция, прочитанная Риманом 10 июня 1954 г. Впервые опубликована в 1868 г.: Riemann В., Nachrichten К. Gesellschaft Wiss. Gottingen, Bd. 13, 1868, S. 133—152. (Здесь перепечатан с незначительными исправлениями перевод из книги: «Об основаниях геометрии», ГИТТЛ, M., 1956, стр. 309—324.) О ГИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ 19
странства,— задача, естественно, не вполне определенная, так как не исключено, что возможно несколько систем простых допущений, из которых каждая достаточна для установления метрических свойств пространства; важнейшая среди них, с точки зрения поставленной нами цели, есть система, положенная в основу геометрии Евклидом. Допущения, о которых идет речь, не являются (как и всякие допущения) необходимыми; достоверность их носит эмпирический характер; они — не что иное, как гипотезы. Их правдоподобие (которое, как бы то ни было, очень значительно в пределах наблюдения) надлежит подвергнуть исследованию и затем судить о том, могут ли они быть распространены за пределы наблюдения как в сторону неизмеримо большого, так и в сторону неизмеримо малого.
I. ПОНЯТИЕ п-КРАТНО ПРОТЯЖЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Я обращаюсь к первой из указанных мною задач, а именно к выяснению понятия многократно протяженной величины; при этом считаю для себя обязательным просить об известном снисхождении, тем более, что в относящихся сюда работах философского содержания, трудность которых заключена скорее в анализе понятий, чем в математических построениях, я не обладаю большой осведомленностью. Кроме очень кратких указаний, которые г. тайный советник Гаусс дал во втором мемуаре, посвященном биквадратическим вычетам (в Геттингенских ученых записках), и в своей юбилейной работе, а также некоторых философских исследований Гербарта, я не имел возможности использовать какие-либо литературные источники.
1
Образование понятия величины возможно лишь в том случае, если предпослано некоторое общее понятие, связанное с допущением ряда различных состояний *). В зависимости от того, существует ли или не существует непрерывный переход от одного состояния к другому, мы имеем дело с непрерывным или с прерывным многообразием; отдельные состояния называются в первом случае точками, во втором — элементами многообразия. Величины, ко-
г) «Состояние»— Bestimmungsweise. Под многообразием Риман понимает не только геометрические протяженности (это явствует, например, из конца абзаца, где Риман говорит об ощущениях и цветах). Поэтому позволительно воспользоваться, за неимением лучшего, общепонятным, хотя и не вполне геометрическим термином «состояние» для обозначения элемента многообразия, соответствующего совокупности некоторых определенных числовых значений параметров (координат). В случае геометрической протяженности «состояние»— то же, что «точка». (Ред. сб. «Об основаниях геометрии».) 20 Б. Риман
торые образуют дискретное множество состояний, встречаются столь часто, что по крайней мере в более развитых языках для соответствующих понятий всегда имеются особые наименования (и именно потому при построении учения о дискретных величинах математики могли исходить из допущения однородности данных объектов). Напротив, надобность в образовании понятий, соответствующих случаю непрерывных многообразий, встречается сравнительно редко; из немногочисленных примеров многократно протяженных многообразий, встречающихся в обыденной жизни, укажем локализованные ощущения и цвета; гораздо чаще приходится прибегать к рассмотрению и исследованию подобного рода понятий в высших разделах математики.
Отдельные части многообразий могут быть выделены с помощью некоторых признаков или же количественных (квантитативных) различий. С количественной точки зрения сравнение осуществляется в случае дискретных многообразий посредством счета, в случае непрерывных — посредством измерения. Измерение заключается в последовательном прикладывании сравниваемых величин; поэтому возможность измерений обусловлена наличием некоторого способа переносить одну величину, принятую за единицу масштаба, по другой величине. Если такой способ не указан, то сравнивать две величины можно лишь в том случае, когда одна из них является частью другой, и тогда речь может идти лишь о «больше» или «меньше», а не о «сколько». Исследования, которые имеют своим предметом величины такого рода, образуют общего характера, независимую от мероопределения, часть учения о величинах: в ней величины не мыслятся существующими независимо от их положения и выраженными через единицу измерения, а должны быть представляемы как области в некотором многообразии. Такого рода исследования стали крайне необходимыми для многих отраслей математики, в частности в теории многозначных аналитических функций; недостаточное их развитие, несомненно, есть причина того, что знаменитая теорема Абеля, а также результаты, полученные Лагранжем, Пфаффом, Якоби в общей теории дифференциальных уравнений, долгое время не давали своих плодов.
