Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Можно сказать, что Риман здесь имеет в виду «функциональные многообразия»: неудобно сказать «функциональные пространства», так как «пространство» у Римана имеет более узкий смысл, чем в наше время. (Ред. сб. Юб основаниях геометрии».) О ГИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ 23
к таким отношениям, которые, будучи рассматриваемы каждое в отдельности, допускают определенные геометрические представления, и, следовательно, становится возможным результаты вычислений выражать в геометрической форме. Поэтому, хотя (чтобы стоять на твердой почве) и нельзя вовсе избежать абстрактного исследования с помощью формул, все же результаты этого исследования будут здесь представлены, если можно так выразиться, в геометрическом одеянии. Для того и другого прочное основание заложено в знаменитом сочинении о кривых поверхностях г. тайного советника Гаусса.
1
Мероопределение подразумевает независимость величин от местоположения. Эта независимость может быть понимаема в различных смыслах: первое допущение, которое естественно принять и которое я здесь подвергну дальнейшему рассмотрению, заключается в том, что длины линии не зависят от их положения, так что каждая линия измерима посредством каждой. Если определение положения приведено к определению величин, т. е. положение точки на данном гс-кратно протяженном многообразии определяется п переменными величинами x1, x2, x3 и т. д. до xn, то для определения линии нужно задать величины х как функции некоторой одной переменной. Тогда задача заключается в том, чтобы указать математическую формулу для длины линий. В таком случае неизбежно подразумевать, что каждая из величин х может быть выражена через некоторую единицу. Поставленную задачу я буду исследовать только при некоторых ограничениях. Во-первых, ограничусь рассмотрением таких линий, для которых отношения величин dx (взаимно соответствующих приращений величин х) изменяются непрерывно. Тогда можно разбить линии на такие элементы, в пределах которых отношения величин dx допустимо считать постоянными, и задача наша сводится к тому, чтобы указать общую формулу для линейного элемента ds, выходящего из любой данной точки; эта формула должна, следовательно, содержать величины х и величины dx. Во-вторых, я допущу, что длина линейного элемента остается неизменной с точностью до величин второго порядка, если все его точки испытывают одно и то же бесконечно малое перемещение; отсюда, в частности, вытекает, что, когда все величины dx увеличиваются в одно и то же число раз, то и линейный элемент ds увеличивается во столько же раз х). При сделанных допущениях линейный элемент
Эту мысль удается расшифровать, если сделать допущение, что Риман молчаливо предполагает, что «длина» линейного элемента, т. е. расстояние рab между его конечными точками А и В, удовлетворяет требованию
Раб = Pac + Pcb-
Обозначим через F(x, dx) расстояние между точками х и х + dx; тогда, 24 Б. Риман
сможет быть произвольной однородной функцией первой степени от величин dx, которая не изменяется, когда все величины dx меняют знаки, и в которой коэффициенты являются непрерывными функциями величин X.
Чтобы прийти к простейшим возможным случаям, я сначала нахожу формулу для (п — 1)-кратно протяженных многообразий, отстоящих от начальной точки линейного элемента повсюду на одно и то же расстояние, т. е. ищу непрерывную функцию точки, которая отличает одно из таких многообразий от другого. Такая функция должна будет во все стороны от начальной точки или уменьшаться, или увеличиваться; я предположу, что она во все стороны увеличивается и, следовательно, в самой точке имеет минимум. Тогда, если только ее первые и вторые производные конечны, дифференциал первого порядка должен обращаться в нуль, а дифференциал второго порядка не может становиться отрицательным; я предположу, что он всегда положительный. Это дифференциальное выражение второго порядка остается постоянным, когда ds остается постоянным, и возрастает в квадратном отношении, когда величины dx и, следовательно, также и ds увеличиваются в одно и то же число раз; поэтому оно = const *ds2 и, значит, ds = квадратному корню из всегда положительной целой однородной функции второй степени величин dx с коэффициентами — непрерывными функциями величин x. В частности, для пространства, если определять положение точки прямоугольными координатами, мы имеем: ds = У 2 (dx2); пространство, следовательно, подпадает под этот простейший случай. Случай, который можно было бы назвать следующим по простоте, соответ-
согласно сделанному явно предположению, с точностью до величин высших порядков будем иметь
F (х + ox, dx) = F (х, dx). Отсюда следует при п целом
п
F (х, ndx)= 2 F (я+ тп — 1 dx, dx) z=nF (х, dx), m= 1
и дальше, по непрерывности, получается для всех положительных X
F (х, I dx) = XF (х, dx). Точно так же, дальше, из требования
Раб = Рб а
вытекает
F (х, —dx) = F (х — dx, dx) = F (х, dx).
(Ред. сб. «Об основаниях геометрии».)
«Непрерывность» Риман здесь понимает в смысле Эйлера и, как можно судить из дальнейшего изложения, представляет рассматриваемую им функцию разложенной в степенной ряд. Об этом же свидетельствует упоминание (см. несколько выше) о коэффициентах. (Ред. сб. «Об основаниях геометрии».) О ГИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ 25
