Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
ствует тем многообразиям, в которых линейный элемент представляется в виде корня четвертой степени из дифференциального выражения четвертой степени. Исследование этого более общего типа многообразий, правда, не потребовало бы введения каких-либо существенно новых принципов, но связано было бы со значительной потерей времени и едва ли позволило бы представить учение о многообразиях в особо своеобразном освещении; притом результаты не смогли бы быть сформулированы геометрически. Поэтому я позволяю себе ограничиться многообразиями, для которых линейный элемент задается как квадратный корень из дифференциального выражения второй степени.
Дифференциальное выражение рассматриваемого типа может быть преобразовано в другое выражение подобного типа, если п зависимых переменных приравнять некоторым функциям от п новых независимых переменных. Но таким образом нет возможности преобразовать всякое дифференциальное выражение во всякое: действительно, наше выражение содержит п ^il коэффициентов, являющихся произвольными функциями независимых переменных; при введении же новых переменных мы сможем удовлетворить только п соотношениям, так что лишь п коэффициентов
примут данные заранее значения. Поэтому п остальных коэффициентов зависят от природы исследуемого многообразия, и для установления отношений между ними требуются еще пп функ-
ций точки на многообразии.
Те многообразия, для которых, как для плоскости и пространства, линейный элемент может быть приведен к виду У 2 (dx)2, образуют частный случай изучаемых нами многообразий; они, без сомнения, заслуживают особого наименования, и потому я буду многообразия, для которых квадрат линейного элемента приводится к сумме квадратов независимых дифференциалов, называть плоскими.
Для того чтобы было легче обозреть существенные особенности различных многообразий, представимых в указанной форме, необходимо устранить особенности, возникающие из формы представления, что достигается надлежащим выбором переменных, совершаемым по определенному принципу.
2
Именно, вообразим, что построена система кратчайших линий, выходящих из произвольной начальной точки; тогда положение рассматриваемой переменной точки определится, если будут указаны начальное направление кратчайшей линии, на которой она 26 Б. Риман
лежит, и расстояние ее от начальной точки, отсчитываемое по этой кратчайшей линии; достаточно, следовательно, задать отношения величин dx°, т. е. величин dx в начале кратчайшей линии, и длины S этой линии. Но вместо dx мы введем линейные комбинации da, составленные из них таким образом, чтобы в начальной точке квадрат линейного элемента равнялся сумме их квадратов; независимыми переменными тогда будут: величина s и отношения величин da; и, наконец, вместо da введем такие пропорциональные им величины X1, х2, . . ., хп, чтобы сумма их квадратов равнялась s2. После введения этих переменных для бесконечно малых значений X квадрат линейного элемента примет вид Iidx2, причем член следующего порядка будет однородным выражением второй степени
от п величин (^1 dx2 — х2 dx(^1 dx3 — X3 dx±), . . ., т. е.
этот член будет уже бесконечно малой величиной четвертого порядка. Отсюда следует, что мы получим конечную величину, если разделим эту величину на квадрат площади бесконечно малого треугольника, в вершинах которого переменные имеют значения (О, 0, 0, . . .), (хх, х2, х3, . . .), (dxx, dx2, dx3, . . .). Эта величина сохраняет неизменное значение, поскольку величины х и dx содержатся в одних и тех же бинарных линейных формах или же поскольку обе кратчайшие линии от значений 0 к значениям х и от значений О к значениям dx лежат в одном и том же плоском элементе, и зависит, следовательно, только от местонахождения и направления этого элемента. Она, очевидно, равна нулю, если рассматриваемое многообразие плоское, т. е. если квадрат линейного элемента приводится к виду Idx2 и может потому служить мерой того, насколько многообразие по данному плоскостному направлению отклоняется от плоского многообразия. Будучи умножена на — 3/4, она становится равной той величине, которую г. тайный советник Гаусс назвал мерой кривизны поверхности. Уже раньше было отмечено, что для введения мероопределения на гс-кратно протяженном многообразии, представимом в указанной выше форме,
необходимо задать гс функций точки; поэтому если в каждой
точке задается мера кривизны, соответствующая каждому из п — 1
п —плоскостных направлении, то тем самым определяются
и метрические отношения на многообразии. Исключительным представляется лишь тот случай, когда между мерами кривизны имеются тождественные соотношения (что, вообще говоря, не имеет места). Таким образом, на многообразиях, линейный элемент которых представляется как квадратный корень из дифференциального выражения второй степени, мероопределение может быть введено совершенно независимо от выбора переменных величин. О ГИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ 27
По совершенно аналогичному пути можно идти к поставленной цели и в том случае, если линейный элемент многообразия задается менее простым выражением, например в виде корня четвертой степени. В этом случае, вообще говоря, линейный элемент не может быть приведен к виду корня квадратного из суммы квадратов дифференциальных выражений, и в выражении для квадрата линейного элемента отклонение от плоскости было бы бесконечно малой величиной второго порядка, тогда как для ранее рассмотренных многообразий оно четвертого порядка. Уместно было бы сказать, что последние упомянутые многообразия являются «плоскими в бесконечно малых частях». Но наиболее важное с установленной нами точки зрения свойство этих многообразий, обусловливающее то, почему исключительно они одни здесь исследуются, заключается в том, что метрические отношения в случае двукратной протяженности допускают геометрическое истолкование посредством поверхностей, а в случае многократной протяженности могут быть сведены к рассмотрению метрических отношений на содержащихся в них поверхностях. К последнему замечанию необходимо теперь дать некоторые краткие пояснения.
