Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
пособия других познаний и ожидали гения
* * *
После этого вступления Лобачевский переходит к изложению начал геометрии. Развернутое изложение этих вопросов дано Лобачевским в первых главах его сочинения «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (Н.И. Лобачевский, Полн. собр. соч., т. II, стр. 200 и след.; там же имеются обстоятельные комментарии Б. Л. Лаптева). (Ред. сб. «Об основаниях геометрии».) О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ 13
Изложенная нами теория параллельных предполагает линии тс углами в такой зависимости, которая, как после увидим, находится или нет в природе, доказать никто не в состоянии1). По край-шей мере наблюдения астрономические убеждают в том, что все линии, которые подлежат нашему измерению, даже расстояния между небесными телами, столько малы в сравнении с линиею, принятою в теории за единицу, что употребительные до сих пор уравнения прямолинейной Тригонометрии без чувствительной погрешности должны быть справедливы.
Называем а поперечник земного пути вокруг солнца: 2р самый большой годовой паралакс неподвижной звезды: это значит я/2 — 2р будет угол между а и расстоянием одного конца а до звезды, тогда как расстояние звезды до другого конца перпендикулярно к а. Необходимо
F(a)>±-2р,
отсюда
еа 1 + tang P 1 — tang р *
1 11 а < tangp tang р3 + -g- tang p'° + ...,
тем более
а < tang 2р.
Расстояние звезды сделается к а перпендикулярно, если разность в долготе звезды с солнцем составит прямой угол. Это будет именно то условие, которого должно держаться для выгоды самих наблюдений над паралаксом.
Кажется, всего более можно положиться на способ, придуманный г-м Дасса-Мондардье (Connaiss. des temps de 1831). Он находит годовой паралакс звезды Кейды (29 Эридана) 2", Ригеля 1", 43, Сириуса Г',24. Последний дает
а < 0,00000602.
, Самый большой
а < 0,000009696.
Сколько ни мало таким образом должно полагать а, следовательно, и все вообще линии, какие могут подлежать нашему измерению, в уравнениях (17) тем более можем довольствоваться низшими степенями боков треугольника, что здесь в функции рходят или одни четные или одни нечетные степени.
г) Уравнения (17) и все, что за ними следует, прибавлено уже Сочинителем после к тому рассуждению, которое было им представлено 1826 года в Отделение физико-математических наук. 14 ff. И. Лобачевский
Сумма углов, даже и в таких треугольниках, которые теперь рассматриваем, чрезвычайно мало разнится от двух прямых. Если означаем 2со эту разность, то из последнего уравнения в (17), полагая В = я/2; А = я/2 — 2р; С = 2р — 2со, легко находим
cosF = |/ tang co-tang (2р — со),
отсюда
sin (р —со)2 = sin р2 — cos 2р • cos F ^ ^ ^. Если р' другой паралакс, менее р, то
4- 17 I а \2 ^ Sill р'2
cot F — ) <-Zrr.
V 2 / ^ cos 2рг
Итак, с тою точностью вычисления, какую здесь надобно соблюсти, можно полагать
^ о / х \ 2 • sin Dr , /" cos 2d
co<2psm — , где sino;=: . 1/ -
^ \ 2 / ' sin р J cos 2р
Например, для Сириуса р' = 0",62, для Кейды р = 1", следовательно, в треугольнике, который простирается до второй из сих звезд,
2со < 0",43.
Если бы расстояние до звезды было тоже а, тогда tang со = cos F (а/2)2 < tang р2, где 2р — самый малый известный паралакс для а. Например, полагая р = 0",62, находим, что сумма углов в таком треугольнике разнится от двух прямых менее, нежели на
(Г,00000372 *).
Вообще в прямоугольном треугольнике, которого а, Ъ катеты, я — 2со сумма углов,
tang (0=(5^)(?)'
Чем менее, следовательно, треугольник, тем сумма углов его менее разнится от двух прямых. После этого можно воображать, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений обыкновенной Геометрии и дозволяет принятые начала этой последней рассматривать как бы строго доказанными.
Между тем нельзя не увлекаться мнением г. Лапласа, что видимые нами звезды и Млечный путь принадлежат к одному только
*) В тексте Лобачевского ошибочно стоит 0", 000372. (Ред. сб. «Об основаниях геометрии».) О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ 15
собранию небесных светил, подобному тем, которые усматриваем как слабо мерцающие пятна в созвездиях Ориона, Андромеды, Козерога и проч. Итак, не говоря о том, что в воображении пространство может быть продолжаемо неограниченно, сама Природа указывает нам такие расстояния, в сравнении с которыми исчезают за малостию даже и расстояния нашей земли до неподвижных звезд.
После этого нельзя утверждать более, что предположение, будто мера линий не зависит от углов — предположение, которое многие Геометры хотели принимать за строгую истину, не требующую доказательства,— может быть, оказалось бы приметно ложным еще прежде, нежели перейдем за пределы видимого нами мира.
G другой стороны, мы не в состоянии постигать, какая бы связь могла существовать в природе вещей и соединять в ней величины столь разнородные, каковы линии и углы. Итак, очень вероятно, что Евклидовы положения одни только истинные, хотя и останутся навсегда недоказанными.
