Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Если захотим по всем этим поверхностям перемещать куски поверхности (как тела перемещаются в пространстве), то окажется, что для всех поверхностей такие перемещения возможны без растяжений и сжатий. Поверхности с положительной мерой кривизны можно изогнуть так, что произвольные перемещения кусков поверхностей смогут после этого осуществляться уже без изгибаний: достаточно развернуть их на соответствующие сферы. Для
4 Zj
5 30 Б. Риман
поверхностей с отрицательной мерой кривизны это невозможно. Кроме отмеченной независимости кусков поверхностей от положения, в случае поверхности с мерой кривизны нуль имеет место еще особого рода независимость направлений от положения, чего нет для других поверхностей.
III. ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОСТРАНСТВУ 1
Установим теперь условия, необходимые и достаточные для определения метрических отношений в пространстве. При этом будем исходить из изложенных выше общих результатов, касающихся мероопределения в гс-кратно протяженной величине, и допустим независимость линий от положения и представимость линейного элемента в виде квадратного корня из дифференциального выражения второй степени, т. е. допустим, что пространство «плоско в бесконечно малом».
Во-первых, как ясно из предыдущего, требуемые условия сводятся к тому, чтобы мера кривизны в каждой точке относительно трех плоскостных направлений равнялась нулю. Поэтому нужно считать, что мероопределение в пространстве задано, если установлено, что сумма углов всякого треугольника равна двум прямым.
Во-вторых, следуя Евклиду, допустим, что не только линии,, но и тела существуют независимо от их положения в пространстве, откуда вытекает, что мера кривизны пространства всюду постоянна. В таком случае сумма углов в любом треугольнике определена, если определена в каком-нибудь одном.
Наконец, в-третьих, можно было бы, вместо того чтобы допускать независимость длины линий от места и направления, допустить независимость их длины и направления от места. Приняв эту точку зрения, мы приходим к тому, что перемещения или изменения местоположения являются комплексными величинами, выражающимися через три независимые единицы.
2
Излагая предшествующие соображения, мы начали с того, что отделили отношения протяженности (или отношения взаимного расположения) от метрических отношений, и пришли к заключению, что при одних и тех же отношениях протяженности мыслимы различные метрические отношения; затем установили системы простых метрических отношений, которыми полностью определяется метрика пространства и необходимым следствием которых являются все теоремы геометрии. Остается еще выяснить, обес- О ГИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ 31
печиваются ли опытной проверкой эти простые отношения, и если обеспечиваются, то в какой степени и в каком объеме? Между отношениями протяженности и метрическими отношениями с этой точки зрения имеется существенное различие: именно, поскольку для отношений протяженности возможно лишь дискретное множество различных случаев, результаты опытной проверки не могут не быть вполне точными (хотя, с другой стороны, не могут быть вполне достоверными), тогда как для метрических отношений множество возможных случаев непрерывно, и потому результаты опытной проверки неизбежно неточные, какова бы ни была вероятность того, что они приближенно точны. Это обстоятельство имеет большое значение, когда речь идет о распространении эмпирического опыта за пределы непосредственно наблюдаемого — в направлении неизмеримо большого или неизмеримо малого: за пределами непосредственно наблюдаемого метрические отношения становятся все менее точными, чего нельзя сказать об отношениях протяженности.
При распространении пространственных построений в направлении неизмеримо большого следует различать свойства неограниченности и бесконечности: первое из них есть свойство протяженности, второе — метрическое свойство. То, что пространство есть неограниченное трижды протяженное многообразие, является допущением, принимаемым в любой концепции внешнего мира; в полном согласии с этим допущением область внешних восприятий постоянно расширяется, производятся геометрические построения в поисках тех или иных объектов, и допущение неограниченности ни разу не было опровергнуто. Поэтому неограниченности пространства свойственна гораздо большая эмпирическая достоверность, чем какому бы то ни было другому продукту внешнего восприятия. Но отсюда никоим образом не следует бесконечность пространства; напротив, если допустим независимость тел от места их нахождения, т. е. припишем пространству постоянную меру кривизны, то придется допустить конечность пространства, как бы мала ни была мера кривизны, лишь бы она была положительной. Если бы мы продолжили кратчайшие линии, начальные направления которых лежат в некотором плоскостном элементе, то получили бы неограниченную поверхность с постоянной положительной мерой кривизны, т. е. такую поверхность, которая в плоском трижды протяженном многообразии приняла бы вид сферы и, следовательно, является конечной.
