Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
3
При рассмотрении поверхностей следует различать внутренние метрические отношения, в которые входят лишь длины путей на самой поверхности, и отношения, характеризующие взаимное положение поверхностей и точек, лежащих вне их. От этих последних «внешних» отношений можно отвлечься следующим образом: станем изменять поверхности так, чтобы длины линий, на них лежащих, оставались неизменными, т. е. так, чтобы, будучи как угодно изгибаемы, поверхности не подвергались растяжениям или сжатиям, и все получаемые в результате изгибаний одна из другой поверхности пусть рассматриваются как одинаковые.
Так, например, цилиндрические или конические поверхности существенно не отличны от плоскости, так как могут быть получены из плоскости посредством одного лишь изгибания, причем внутренние метрические отношения остаются неизменными и все теоремы, касающиеся этих отношений, т. е. вся планиметрия, остаются в силе; напротив, названные поверхности существенно отличны от сферы, которую без растяжений нельзя превратить в плоскость. Согласно предыдущему, в каждой точке внутренние метрические отношения дважды протяженной величины (если только линейный элемент может быть представлен в виде квадратного корня из дифференциального выражения второй степени, что имеет место в случае поверхностей) характеризуются мерой кривизны. Оказывается, что в случае поверхностей этой величине можно дать наглядное истолкование: она равняется произведе- 28 Б. Риман
нию двух главных кривизн в рассматриваемой точке; можно также сказать, что произведение ее на площадь бесконечно малого треугольника, составленного из кратчайших линий, равняется половине разности между суммой его углов и двумя прямыми углами (в долях радиуса). Первое определение подразумевало бы теорему: произведение главных радиусов кривизны при изгибании поверхности остается неизменным; второе — другую теорему: в одной и той же точке поверхности разность между суммой углов бесконечно малого треугольника и двумя прямыми углами пропорциональна площади треугольника. Чтобы дать геометрическое истолкование мере кривизны гс-кратно протяженного многообразия в данной точке относительно данного через нее проходящего плоского элемента, нужно исходить из того, что кратчайшая линия, выходящая из данной начальной точки, определяется полностью, если указано ее начальное направление. Отсюда следует,, что мы получим совершенно определенную поверхность, если продолжим все кратчайшие линии, выходящие из данной точки и имеющие начальные направления, лежащие в данном плоском элементе. Эта поверхность имеет в данной точке определенную меру кривизны, каковая и есть мера кривизны гс-кратно протяженного мнообразия в данной точке относительно данного плоского элемента.
4
Прежде чем мы сделаем применение нашей теории к случаю пространства, необходимо еще изложить ряд соображений, касающихся общего случая плоских многообразий, т. е. таких многообразий, для которых квадрат линейного элемента представляется в виде суммы квадратов полных дифференциалов.
В случае плоского гс-кратно протяженного многообразия мера кривизны в каждой точке относительно любого направления равна нулю; согласно предшествующему исследованию, для того чтобы метрические отношения были определены, достаточно знать,
тг —1
что в каждой точке относительно п —— плоскостных направлении
(таких, что соответствующие меры кривизны независимы между собой) мера кривизны равна нулю. Многообразия, для которых мера кривизны везде равна нулю, представляют собой частный случай многообразий, для которых мера кривизны всюду постоянна. Многообразия с постоянной мерой кривизны могут быть характеризованы также тем свойством, что фигуры могут в них перемещаться без растяжений и сжатий. В самом деле, очевидно, что фигуры не смогли бы быть как угодно перемещаемы и вращаемы в многообразии, если бы мера кривизны не оставалась неизменной в каждой точке по любому направлению. G другой О ГИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ 29
стороны, метрические отношения на многообразии полностью определяются мерой кривизны; поэтому если в одной точке по всем направлениям мера кривизны остается той же, что и во всякой другой точке, то во всякой точке можно выполнить те же построения, что и в начальной точке, так что на многообразии с постоянной мерой кривизны фигуры способны занимать совершенно произвольные положения. Метрические отношения на таких многообразиях зависят только от числового значения меры кривизны; по поводу аналитического представления я позволю себе заметить, что, если это числовое значение обозначено через а, выражение для линейного элемента может быть приведено к виду
Чтобы дать геометрическую иллюстрацию, рассмотрим поверхности с постоянной мерой кривизны. Легко убедиться, что поверхности, у которых кривизна положительная, всегда разворачиваются на сферу, радиус которой равен единице, деленной на корень квадратный из меры кривизны. Чтобы обозреть все множество этих поверхностей, придадим одной из них вид сферы, а остальным — вид поверхностей вращения, которые касаются этой сферы по экватору. Поверхности, у которых мера кривизны больше, чем у сферы, будут касаться сферы изнутри и будут иметь такой вид, как внешняя (отвернутая от оси) часть поверхности тора: их можно было бы развернуть на зоны сфер меньшего радиуса, но при разворачивании они покрыли бы зоны сфер больше одного раза. Поверхности с мерой кривизны меньшей, чем мера кривизны начальной сферы, получаются, если из сфер большего радиуса вырезать кусок, ограниченный двумя большими полукругами, и соединить линии разреза. Поверхность с мерой кривизны нуль будет цилиндр, касающийся сферы по экватору. Поверхности с отрицательной мерой кривизны будут касаться этого цилиндра извне и иметь такой вид, как внутренняя (повернутая к оси) часть поверхности тора.
