Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Ограничимся случаем трех измерений (обобщение на случай четырех измерений не вызовет затруднений). Представим себе пространство, обладающее в непосредственной близости от каждой точки всеми свойствами евклидова пространства. Обитатели такого пространства смогут, например, координировать точки, бесконечно близкие к данной точке А, пользуясь прямоугольным трехгранником с вершиной в точке А; но мы предположим, кроме того, что у них есть некий закон, позволяющий им координировать относительно трехгранника с вершиной в А все референционные трехгранники с вершинами в точках А', лежащих вблизи А. Тогда, в частности, для них будет иметь смысл утверждение, что два направления — одно взятое в точке А, а другое в точке А' —
* Cartan М. E., Compt. Rend., 174, 593 (1922).
© Перевод на русский язык, «Мир», 1979 536 Э. К ар тан
параллельны. В конечном счете такое пространство будет определяться законом взаимной координации (евклидовского типа) двух трехгранников с бесконечно близкими вершинами.
Описанное выше пространство не определяется вполне заданием ds2. Действительно, величиной ds2 определяется только часть операции перехода от трехгранника с вершиной А к трехграннику
с вершиной А', а именно сдвиг AAf. К сдвигу же, как известно, добавляется еще поворот, который при заданном &2 может быть определен произвольно.
В таком случае, если построить бесконечно малый замкнутый контур, исходящий из точки А и возвращающийся в нее, то отличие рассматриваемого пространства от пространства Евклида обнаружится в следующем. Припишем каждой точке M контура референционный трехгранник. Чтобы перейти от трехгранника точки M к трехграннику точки M', нужно осуществить бесконечно малые сдвиг и поворот, компоненты которых относительно подвижного трехгранника с вершиной в M известны. Пусть к тому же эта последовательность бесконечно малых перемещений производится в евклидовом пространстве, а значит, относительно начального трехгранника, выбранного произвольным образом. Если точка M неевклидова пространства выйдет из точки А и, описав замкнутый контур, вернется в нее, она не найдет здесь в евклидовом пространстве первоначального трехгранника. Чтобы снова его получить, необходимо дополнительное перемещение, компоненты которого вполне определяются по отношению к первоначальному трехграннику. В остальном это дополнительное перемещение не зависит от того, по какому закону каждой точке M контура приписывается свой трехгранник.
Таким образом, со всяким заданным бесконечно малым замкнутым контуром в пространстве ассоциируются сдвиг и поворот, которые тоже являются бесконечно малыми (того же порядка величины, что и площадь контура) и выражают различие между данным пространством и евклидовым пространством. Поворот можно представить вектором с началом в точке А, а сдвиг — векторной парой. Тогда можно также доказать следующий закон сохранения: векторы и векторные пары, ассоциированные с различными элементами поверхности, ограничивающей любой бесконечно малый элемент объема, находятся во взаимном равновесии.
Итак, мы пришли к геометрическому представлению непрерывной материальной среды, находящейся в равновесии под действием лишь своих собственных сил упругости, причем на каждый элемент поверхности эти силы действуют не только как просто сила (натяжение или давление), но и как пара сил (крутящий момент).
Вернемся теперь к тому случаю, когда задается только ds*. Простой расчет показывает, что среди всех законов взаимной рефе- ОБ ОБОБЩЕНИИ ПОНЯТИЯ РИМАНОВОЙ КРИВИЗНЫ 537
ренции двух трехгранников с бесконечно близкими вершинами, совместимых с заданным ds2, имеется один и только один закон, при котором сдвиг, ассоциированный с произвольным бесконечно малым замкнутым контуром, равен нулю. Именно этот закон и приводит к понятию параллельного переноса, введенному Леви-Чивитой. Если принять этот закон, то векторная пара, о которой говорилось выше, исчезает, и в этом и есть причина того, что упругий тензор подчиняется закону симметрии.
В общем случае, когда сдвиг, ассоциированный с любым бесконечно малым замкнутым контуром, неравен нулю, данное пространство может отличаться от евклидова пространства в двух отношениях: 1) наличием кривизны в смысле Римана, проявляющейся как поворот, и 2) наличием кручения, проявляющегося как сдвиг.
В пространстве с кривизной и кручением метод подвижного трехгранника позволяет, как и в евклидовом пространстве, построить теорию кривизны линий (а также поверхностей). Прямая линия будет характеризоваться тем свойством, что во всех ее точках (относительная) кривизна равна нулю, т. е. на малых отрезках она сохраняет одно и то же направление. Но теперь прямая линия не будет обязательно кратчайшим путем из одной точки в другую — она будет им лишь в пространствах без кручения и, как исключение, — в некоторых пространствах с кручением.
Приведем очень простой пример последнего случая. Представим себе пространство ё, каждая точка которого поставлена в соответствие точке евклидова пространства E, причем так, что длины сохраняются. Различие между этими пространствами будет таким: два прямоугольных трехгранника с бесконечно близкими вершинами А и Af в пространстве Щ будут параллельными, тогда как соответствующие трехгранники в пространстве E получаются один из другого в результате винтового перемещения с заданным шагом и в заданном направлении (например, в направлении правого винта) около прямолинейной оси, соединяющей их вершины. Тогда прямым линиям в пространстве E соответствуют прямые и в пространстве они по-прежнему будут геодезическими. Введенное таким образом пространство допускает 6-параметрическую группу преобразований. Это будет наше обычное пространство, рассматриваемое наблюдателем, все восприятия которого «закручены». В механике это соответствует среде с постоянным давлением и с постоянным крутящим моментом.
