Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
(ds)2 = — (d%Y = ga? dxa dx$.
В плоском пространстве и в декартовых координатах метрический тензор имеет диагональный вид и его диагональные элементы равны —1, 1, 1, \. КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КАК ГЕОМЕТРИЯ 545
Эти уравнения описывают электромагнетизм и гравитацию как самосогласованную, но замкнутую динамическую систему.
Решим уравнения (3) для приведенного электромагнитного поля /ат, выразив его через свернутый тензор кривизны i?a?. Подставим полученные выражения в уравнения Максвелла. Тогда содержание уравнений Максвелла — Эйнштейна выразится чисто
В этой статье часто используются пространственно-подобные гиперповерхности, на которых удобнее вводить положительно определенную метрику, к чему и приводит настоящий ее выбор (см. также монографии Паули, Ландау и Лифшица, Яуха и Pop лиха). Детерминант | ga? | метрики в 4-простран-стве обозначается через g, а детерминант | gik | метрики на пространственно-подобной гиперповерхности — через 3g. Среди других важных величин следует упомянуть : коэффициенты связности
P _ 1 / dg?y , dgqy dffa? \, a?'v~ 2 +
имеющий двадцать различных компонент тензор кривизны Римана
яр м- яг ц D M- — VT VO I Г M-F Tl_г М-г tJ-
11V ох 0 п г оті VT tri Ava »
дх дх
симметричный тензор Риччи, или свернутый тензор Римана,
инвариант кривизны R = R^ (скалярную кривизну); обобщение оператора Даламбера для гравитационных потенциалов
1
"GftiVw=8 ^llv—
и, наконец, электромагнитные потенциалы Aa, связанные с тензором электромагнитного поля соотношением
_ дАр дАа дх* '
Символ преобразования дуальности, который часто пишется в виде 8a?Y?, не является тензором и обозначается здесь через [ct?yo]. Он меняет знак при перестановке любых двух индексов, причем его компонента [0123] равна единице. Тензор дуальный антисимметричному тензору Fa ?, опре-
делен соотношением
KW=4 (-?)1/2 [^] «""Лхв-
Геометризованным напряженностям электромагнитного пoля/a? = (G1^2Ic2)X X Fa? сопоставляются геометризованные электромагнитные потенциалы аа = (G1Z2Ic2) Aa, являющиеся безразмерными. В плоском пространстве и в декартовых координатах:
dx1 = dxx — сдвиг в направлении оси х, dx0 = —dx0 — интервал ковремени,
A1 = A1 — ^-компонента обычного векторного потенциала, A0 = -A0 — обычный скалярный потенциал V (в единицах СГСЭ), F2з = —F32 — ^-компонента магнитного поля, F10 = —F01 —^^-компонента электрического поля.
35-0919 546 Ч. Мизнеру Дж. Уилер
Фиг. 1
Упрощение рассмотрения тензора энергии-импульса-натяжений при переходе к локально лоренцевой системе отсчета, в которой векторы E и H параллельны (см. примечание 1 на стр. 52 кн. Дж. Уилера «Гравитация, нейтрино и Вселенная»).
Слева — векторы напряженности электрического и магнитного полей в исходной системе отсчета. Читателю предлагается вычислить поток энергии с [Е х X Н]/4я, плотность энергии (E2 + Н2)/8л и их отношение — скорость v. Справа — конфигурация полей в системе координат, движущейся с этой скоростью. Поток энергии должен обращаться в нуль. Поэтому E' и H' будут параллельны. Назовем их общее направление осью х'. Вдоль этой оси существует максвелловское натяжение (Е 2 + н'2), а вдоль двух перпендикулярных ей осей у' и г' — столь же сильное максвелловское давление. Поэтому тензор энергии-импульса-натяжений имеет вид
где F'2 — сокращенная запись инварианта F'2=E,2+H'2=[(E,2-H,2)2+4 (E'.H')2]V2S
=[(Е2-Н2)2 + 4 (Е-Н)2]1/2 =[(Е2+Н2)2_4 (EXH)2]V2
Этот тензор обладает двумя важными свойствами: 1) его след равен нулю и 2) квадрат его пропорционален единичной матрице. Оба свойства не зависят от выбора координатной системы. Они выполняются независимо от того, является ли тензор Максвелла диагональным или нет.
Рассмотрим теперь, наоборот, вещественный симметричный тензор, обладающий свойствами (1) и (2). Можно найти координатную систему с выделенным направлением х', в которой этот тензор приводится к указанной выше диагональной форме. В частности, сразу же можно найти инвариантную величину напряженности поля
F, і (8л-Тензор Максвелла)2-і1/4 ^Единичная матрица
Затем следует выбрать произвольный угол а и определить векторы E' и H', направленные вдоль выбранной оси х' и обладающие абсолютной величиной Ef=Ff sin a, Hf=Ff cos а.
Векторы E' и H' определены однозначно с точностью до единственного произвольного параметра а. Преобразуем определенное таким образом электромагнитное поле к исходной системе отсчета. Для этого поля максвелловский подход к тензору натяжений приводит к симметричному выражению, с которого мы начали это рассуждение.
Эти рассуждения теряют силу, когда электромагнитное поле является нулевым, когда вектор E перпендикулярен H и по абсолютной величине равен Н; однако утверждение в тексте все же остается справедливым.
геометрически. Такая программа была реализована Райничем в его важной работе [3] которая оставалась долгое время незамеченной. Результат этот прост.
х) Даже в вышедшей позже книге Райнича [4] эта работа не учтена, прежде всего ввиду его подхода к классической физике, отличного от исследуемого в настоящей статье. Мы занялись проблемой выражения уравнений (1) — (3) в рамках «исконно единой теории», и один из нас (Ч. Мизнер) КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КАК ГЕОМЕТРИЯ 547
