Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, перейдем к некоторому R5 и перенесем туда предположения теории Эйнштейна. Пусть наряду с обычными параметрами X1 -т- ^ существует также новый, х°. Обозначив метрический тензор в R5 через grs х), получим, в силу условия цилиндричности, для трехиндексных величин Vj1], обозначаемых здесь через —TikI1 значения
Пока что этот результат мало нас воодушевляет: компоненты Г0их действительно имеют вид ротора, но 10 величин Г ^x0, которые в предполагаемой трактовке также должны были бы обладать электрической природой, угрожают стать помехой. Пойдем, однако, дальше и положим
чтобы сохранить пропорциональность между T0^ и Fyi^. Тогда фундаментальный метрический тензор пространства R5 сводится к тензорному потенциалу гравитации, дополненному 4-потенциа-лом электромагнитного поля. Роль «угловой» компоненты $ пока остается неопределенной. Обозначив суммы + qк-к, соответствующие величинам Fki, через получим
* * Hs
2ГхМ1 = ^ll-gv.* — g^.K (как и раньше),
2Го>о, — goK-k goK-кі 2Гкхо— —(go*-х + ->t) ?
2Го0>< — goo-K, 2Гоио ==—2Г000 = 0.
(і)
g0K = 2aqK, goo = 2д,
(2)
(3)
Латинские индексы пробегают значения от 0 до 4, а греческие — от 1 до 4. К ПРОБЛЕМЕ ЕДИНСТВА ФИЗИКИ 531
Тем самым из электромагнитного поля Fyc^1 соответствующего ему «побочного» поля и градиентов г) величины $ построено 35 новых трехиндексных величин (5 из которых равны нулю). При этом из общего тождества
(Tiki jT^klijT Tlik) • т = Tmik.i + ТтЫ. г + Tmii.k (4)
с учетом условия цилиндричности следуют известные соотношения
Fm-VL + ^Vx + ^.Ji = 0, а. = з.хх. (4а)
* * *
Ограничим теперь, как обычно, выбор параметров условием ? — I ?rs I ~ —1 и предположим (I приближение), что компоненты grs лишь мало отличаются от своих «евклидовых» значений -Srs. Взяв T1ik = — Cl} = -TjfeZ, найдем представляющие сейчас интерес компоненты второго четырехиндексного тензора:
{иЯ, fiO} = a/^.|i, {ttO, OX} = иь {и*,, 00} = {х0, 00}-{00, 00}-0.
Приятно отметить, что побочное поле из формулы (3) сюда уже не входит — из электрических величин кривизну пространства R5 определяют только производные от напряженности. Если построить теперь свернутый тензор Rik = {ir, гк), то, в силу сделанных предположений, получим в стандартной записи
= Tftv.р (как и раньше), Rm= - a (Div F)» (6)
B00=- Dg.
Итак, 15 компонент тензора кривизны распадаются на левые части следующих уравнений: 1) старых уравнений гравитации, 2) основных уравнений электромагнетизма, 3) уравнения Пуассона для неопределенного пока поля Мы получили первое подтверждение нашего предположения и поддержку надежды на возможность истолкования гравитации и электричества как проявлений
некоторого универсального поля.
* * *
Для тензора энергии материи, определяющего правую часть уравнений поля, получим в Rb в I приближении
Tik=Tih = IX0UiUki (7)
В четырехмерном смысле.
34* 532 Т. Калуца
где |!0 — инвариантная плотность массы, ur = dzr/ds, ds* = = gim dx1 dxm.
Так как (для всех трех видов уравнений поля) i?0|1 = —XT70m,, в уравнения Максвелла, согласно (6), должны входить компоненты 4-тока
I» = PoV* = ^ T011 = ^rlX0UOU*, (8)
где P0 — инвариантная плотность заряда, vp = dxP/do, da2 = = g^n dxKdx^. Таким образом, пространственно-временной тензор энергии по существу дополняется плотностью тока.
Мы будем продолжать свой анализ сначала в предположении, что и0, и1, и2, и3 1, uk ~ 1 (II приближение). Наряду с малостью скорости это подразумевает наличие у движущегося вещества лишь очень малого удельного заряда р0/p,0, так как, поскольку при этом da2 ~ ds2 и Vр ~ , из выражения (8), если положить, забегая вперед х), a = = 3,06-IO"14, следует, что
Po = V*u* =5 2a|I0U0 < ji0. (8а)
Это соотношение указывает прежде всего на то, что в данном случае электрический заряд можно понимать по существу как пятую компоненту импульса массы, движущейся «наклонно» к пространствам xQ = const. Тем самым достигается объединение двух других, прежде разнородных, основных понятий.
Так как, к тому же, во II приближении Г00, Tn, Г22, T33 ~ 0, то, согласно выражению (7),
T = JkTik = -Г44 = -Ii0, (9)
и для уравнений поля I рода получается обычное выражение
#00 rr^ —-#44 = \ Но* (10)
В соответствии с уравнениями (6) «угловой» потенциал g сводится к гравитационному потенциалу с обратным знаком, тогда как величина & = gu/2 сохраняет свой прежний смысл.
Теперь, когда мы столь удовлетворительно распорядились основными величинами уравнений поля, встает вопрос, будут ли уравнения «геодезического» движения в R5
= = (И)
адекватно описывать движение заряженного вещества в гравита-
х) В соответствии с уравнениями движения; см. следующий раздел. К ПРОБЛЕМЕ ЕДИНСТВА ФИЗИКИ
ционном и электромагнитном полях. Во II приближении сразу же видно, что это так: в силу взаимозаменяемости величин ds и do и в соответствии с уравнениями (3)
^x m ё = r^'1,0 + 2aFKu°v*-S-XU02, (Ila)
п2
так что вследствие малости члена с ir выражение для плотности пондермоторной силы имеет вид
