Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
[здесь можно было бы усомниться только в множителе 4, с которым прибавляется второй (электрический) член к первому]. Но еще до того, как конкретизировать действие, из принципа действия можно вывести некоторые общие следствия. А именно, мы покажем следующее. Точно таким же образом, как (согласно исследованиям Гильберта [6], Лоренца [7], Эйнштейна [8], Клейна [9] и автора [10]) с инвариантностью действия относительно преобразований координат (включающей 4 произвольные функции) связаны четыре закона сохранения для материи (тензора энергии-импульса), с появившейся здесь новой «масштабной инвариантностью» [переход от (8) к (9)], включающей пятую произвольную
W = RijklRijkl^lRl*.
(14)
'Согласно уравнениям (13),
W = I P I2 + 4L ГРАВИТАЦИЯ .И ЭЛЕКТРИЧЕСТВО 523
функцию, связан закон сохранения электричества. То, каким именно образом этот закон сохранения объединяется с принципом энергии-импульса, представляется мне одним из убедительнейших общих аргументов в поддержку представленной здесь теории —¦ в той мере, в какой вообще можно говорить о подтверждении в сфере чисто спекулятивного.
Примем для произвольной вариации, обращающейся в нуль на границах рассматриваемой мировой области, выражение
б j Wdx= j (SBife + бфі) dx (SBife = SBfei)g (15)
Тогда уравнения законов природы принимают вид
SBife = O, IDi = O. (16)
Первый можно рассматривать как закон гравитации, а второй — как закон электромагнетизма. Величины Wik и Wi, которые вводятся соотношениями
WiU=VgWik1 Ki = Vg
XJO1
представляют собой смешанные и контравариантные компоненты тензоров второго и первого порядков веса —2. В системе уравнений (16) ввиду свойств инвариантности пять уравнений должны быть избыточными. Это выражается следующими 5 инвариантными тождествами, выполняющимися для левых частей уравнений:
OtDi ocr>i .
дХі
(17)
.TsferSBrs = I-^i. (18)
дХі аг s— 2
Первое тождество следует из масштабной инвариантности. Именно, если взять при переходе от (8) до (9) в качестве In X бесконечно малую функцию точки бф, то получится вариация
бф f=i|5ele
При такой вариации выражение (15) должно давать нуль. Если к тому же еще учесть инвариантность действия относительно преобразований координат, соответствующих бесконечно малой деформации мирового континуума [9, 10], то получатся тождества
(iIM ^г®")+4-(^-^')"°.
переходящие в (18), если, согласно (17), выразить Otv1Zdxi через
^rsSBrs. Итак, одни только законы гравитации дают
^=0' (19) 524 Г. Вейль
а одни только законы электромагнетизма дают
¦ TskrWs = 0. (20)
дШ\ dxt
В теории Максвелла величина й)г имеет вид
где через S1 обозначена плотность 4-тока. Первый член здесь тождественно удовлетворяет уравнению (19), откуда следует закон сохранения электричества:
1 д (VJsi)
VI
дхі
¦ о.
В теории гравитации Эйнштейна величина SSBift тоже состоит из двух членов, первый из которых тождественно удовлетворяет уравнению (20), а второй представляет собой смешанные компоненты тензора энергии-импульса Tik, умноженные на ]/ g. Таким образом, уравнения (20) приводят к 4 законам сохранения для материи. В нашей теории обнаруживается совершенно аналогичная ситуация, если принять действие в форме (14). Полученные 5 законов сохранения — это «элиминанты» уравнений поля, т. е. они двояким образом вытекают из этих уравнений и тем самым свидетельствуют о наличии пяти избыточных уравнений.
В качестве примера приведем здесь уравнения Максвелла, следующие из лагранжиана (14):
1 д (VgFK) ^ i
Vi ^ • ( }
где ток
Через R обозначен тот инвариант с весом —1, который получается из R1JkI, если его свернуть сначала по і и к, а затем по / и L Вычисления показывают, что
где І?* — риманов инвариант кривизны, построенный только из компонент glk. В статическом случае, когда пространственные компоненты электромагнитного потенциала равны нулю и все величины не зависят от х0, из уравнений (21) следует
3
R = R*ф0ф0 =: const.
Правда, и в самом общем случае в мировой области, где R Ф 0. можно путем соответствующего выбора произвольной единицы длины получить R — const = +1. Но в случае изменяющихся ГРАВИТАЦИЯ .И ЭЛЕКТРИЧЕСТВО 525
во времени состояний должны, по-видимому, существовать поверхности R = О, которые, очевидно, будут играть некоторую особую роль. Величину R нельзя использовать в качестве плотности действия (а в эйнштейновской теории гравитации в этой роли выступает і?*), так как вес ее не равен —2. Вследствие этого наша теория дает лишь уравнения Максвелла для электромагнетизма, но не дает уравнений Эйнштейна для гравитации; вместо них получаются дифференциальные уравнения 4-го порядка. Но, и действительно, крайне маловероятно, чтобы уравнения Эйнштейна для гравитационного поля выполнялись строго, и прежде всего потому, что входящая в них гравитационная постоянная совершенно не вписывается в ряд других естественных констант, так что гравитационный радиус заряда и массы электрона оказывается, например, совершенно иного порядка величины, чем радиус самого электрона [11] (они меньше последнего, первый в 103°, а второй — в IO40 раз).
