Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 176

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 205 >> Следующая


В свете новых представлений, развитых г-дами Леви-Чивитой [2], Хессенбергом [3] и автором [4, § 14], становится совершенно ясно, что при естественном построении римановой геометрии в основу следует класть бесконечно малый параллельный перенос вектора. Пусть P и Р* — какие-либо две точки, соединенные кривой; тогда вектор, заданный в точке Р, можно перенести параллельно самому себе вдоль этой кривой из P в Р*. Правда, такой перенос вектора иаР в P*, вообще говоря, неинтегрируем, т. е. вектор, получаемый в точке P*, зависит от пути, по которому производился перенос. Интегрируемость имеет место только в евклидовой («безгравитационной») геометрии. Но в охарактеризованной выше римановой геометрии остается еще один, последний нелокальный геометрический элемент — и, насколько я могу видеть, без особых оснований. Причиной тому может быть лишь случайный ГРАВИТАЦИЯ .И ЭЛЕКТРИЧЕСТВО 515

факт возникновения этой геометрии из геометрии плоского мира. Действительно, квадратичная форма (2) позволяет сравнивать друг с другом длины не только двух векторов, взятых в одной и той же точке, но и векторов в любых двух удаленных друг от от друга точках. В настоящей же геометрии близкодействия должен быть лишь принцип переноса длины из одной точки в другую, бесконечно к ней близкую. И тогда оказывается столь же мало оснований предполагать заранее, что задача переноса длины из одной точки в другую, удаленную от нее на конечное расстояние, интегрируема, как и в задаче о переносе направления. Если устранить эту непоследовательность, то мы придем к геометрии, поразительным образом объясняющей (если ее применить к физическому миру) не только гравитационные, но и электромагнитные явления. И у тех и у других в возникающей таким образом теории оказывается один и тот же источник, причем, вообще говоря, гравитацию и электричество даже нельзя произвольно отделять друг от друга. В этой теории смысл всех физических величин определяется геометрией мира и, в частности, действие в ней с самого начала выступает как просто число. Эта теория приводит к мировому закону, определенному по существу однозначно, она даже позволяет в некотором смысле объяснить, почему мир четырехмерен. Я намечу здесь сначала структуру модифицированной римановой геометрии, не касаясь физической подоплеки, а ее физическое приложение обнаружится затем само собой.

В заданной системе координат относительные координаты dxt точки P', бесконечно близкой к точке Р, суть компоненты бесконечно малого сдвига PP' [формула (1)]. Переход от одной системы координат к другой осуществляется путем обычных преобразований

х% — Xi X*, . . ., Xn) (j = 1, 2, • • ч п),

связывающих координаты одной и той же точки в первой и второй системах. Тогда компоненты dx% и dx* одного и того же бесконечно малого сдвига точки P связаны между собой линейными преобразованиями

dxi = 2 a>ik dxt, (3)

k

где OCik — значения производных dxi/dxt в точке Р. Некий (контравариантный) вектор $ имеет в точке P в качестве компонент по отношению к любой системе координат определенные п чисел, которые при переходе к другой системе координат преобразуются в точности по закону (3), т. е. как компоненты бесконечно малого сдвига. Всю совокупность векторов в точке P я назову векторным пространством в Р. Оно обладает свойствами: 1) линейности, или 516 Г. Вейль

аффинности, т. е. при умножении вектора в P на число и при сложении двух таких векторов всегда снова получается некоторый вектор в Р; 2) метричности, т. е. каждым двум векторам $ и t) с компонентами и rf инвариантным образом сопоставляется скалярное произведение

5-9 = 9-5 = SftfcSV.

ik

отвечающее симметричной билинейной форме типа (2). Правда, при нашем подходе эта форма определена лишь с точностью до остающегося произвольным положительного коэффициента пропорциональности. Если многообразие точек пространства представляется координатами Xi, то метрикой в точке P определяется лишь отношение компонент gik. И прямой физический смысл имеют лишь отношения компонент gik. Уравнению

Sftft dxI dxk = 0

ik

в данной начальной ^точке P удовлетворяют лишь те бесконечно близкие соседние точки Pr, в которые приходит испущенный из P световой сигнал. Для аналитического описания нам нужно: 1) выбрать определенную систему координат; 2) определить в каждой точке P произвольный коэффициент пропорциональности, который включается в gik. Соответственно этому возникающие соотношения должны обладать двойной инвариантностью: 1) они должны быть инвариантными относительно любых гладких преобразований координат,', 2) они не должны изменяться при замене gik на Xgik, гДе ^ — произвольная гладкая функция точки. Добавление этого второго свойства инвариантности — характерная особенность нашей теории.

Пусть P и Р* — какие-либо две точки и каждому вектору ? в P таким образом сопоставляется вектор что при этом

всегда а$ (где а — любое число) переходит в а$*, a t + t) переходит + ty*. Пусть вектор 0 в точке P — единственцый, которому в Р* соответствует тоже вектор 0, так что тем самым установлено аффинное, или линейное, отображение векторного пространства в P на векторное пространство в Р*. Это отображение оказывается, в частности, отображением подобия, когда скалярное произведение отображенных векторов в точке Р* пропорционально скалярному произведению $ и t) в точке P для всех пар векторов. (При нашем подходе объективный смысл имеет лишь данное понятие отображения подобия, прежняя же теория позволяла ввести более узкое понятие конгруэнтного отображения.) Что же касается операции параллельного переноса вектора из точки P в соседнюю точку Pr, то она определяется двумя аксиоматическими требованиями. ГРАВИТАЦИЯ .И ЭЛЕКТРИЧЕСТВО 517
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed