Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
1. Параллельный перенос векторов из точки P в соседнюю точку Pr осуществляет отображение подобия векторного пространства в P на векторное пространство в Pf.
2. Если P1 и P2 — две точки, соседние к точке Р, а бесконечно
малый вектор PP2 в точке P при параллельном переносе в точку P1
переходит в вектор P1P12, тогда как при параллельном переносе
в точку P2 вектор PP1 переходит В P2P2I, то точки P12 и P21 совпадают (коммутативность).
Та часть требования 1, в которой говорится, что при параллельном переносе происходит аффинная «пересадка» векторного пространства из P в P', аналитически выражается следующим образом. Вектор в точке P = (X1, X2, . . ., хп) при переносе переходит в вектор
Iі + (IIі в точке P' = (X1 + Ax1, X2 + dx2, . . ., хп + dxn), компоненты которого линейно зависят от
-2<?гГ- (4)
г
Требование 2 означает, что dyxr должны быть линейными дифференциальными формами:
dfr = S rvs dxSi
S
коэффициенты которых обладают свойством
Гг«г = T1rs. (5)
Если два вектора и Tji в точке P при параллельном переносе в точку Pr переходят в векторы + и Tji + dx\%, то, согласно требованию 1 относительно подобия, касающемуся аффинности, величина
+ (Iі + ^i) (r\k + dnh)
ik
должна быть пропорциональна величине
S SiklSh-
ik
Примем, что коэффициент пропорциональности бесконечно мало отличается от единицы и равен 1 + йф, а операцию опускания индекса определим, как обычно, формулой
at = 2 gikuk-
k
Тогда
dgik — (dyki + dyik) = gik dy. (6) 518 Г. Вейль
Отсюда следует, что <2ф есть линейная дифференциальная форма:
= s фі dxi. (7)
і
Если она известна, то уравнение (6) или уравнение
г i,kr + Tfe,ir = -J^r--giktyr
вместе с условием симметрии (5) дает однозначно величины Г. Итак, внутренняя связь мер пространства зависит, кроме квадратичной формы (2) (определенной с точностью до произвольного коэффициента пропорциональности), также и от линейной формы (7). Не изменяя систему координат, заменим gik на lKgik] тогда величины dylk не изменятся, но у dyik появится множитель К, a dgik перейдет в К dgik + gik dK. Уравнение (6) показывает, что при этом перейдет в
^Ф + 4^ = Лр + d In К.
к
Таким образом, в линейной форме ^xi не остается неопределенного коэффициента пропорциональности, который можно было бы зафиксировать произвольным выбором масштаба, но соответствующая степень произвола вносится аддитивным полным дифференциалом. С точки зрения аналитического описания геометрии формы
gikdxidxky ф idxi (8)
эквивалентны формам
Kgik dxi dxk, фг dxi + d In Ki (9)
где К — произвольная положительная функция точки. Поэтому инвариантный смысл имеет лишь антисимметричный тензор
т. е. форма
7 — дф* dcpfe Mfh
Fik dxi bxk = у Fik Axik,
билинейно зависящая от двух произвольных сдвигов dx и 8х в точке jР, или, лучше, от элемента поверхности, натянутого на эти два сдвига, с компонентами
Axik = dxi 8xk — dxk бх%.
Прежняя теория, в которой элемент длины, произвольно выбранный в некоторой начальной точке, можно переносить во все точки ГРАВИТАЦИЯ .И ЭЛЕКТРИЧЕСТВО 519
пространства параллельно самому себе независимо от пути переноса, получается здесь как частный случай, когда компоненты gik
МОЖНО ОПреДеЛИТЬ абсОЛЮТНО В ТОМ СМЫСЛе, ЧТО ВеЛИЧИНЫ ф|
обращаются в нуль. Тогда компоненты Tirs становятся не чем иным, как трехиндексными символами Кристоффеля. Инвариантное условие, необходимое и достаточное для того, чтобы реализовался этот случай, сводится к равенству нулю тензора Fik.
Теперь само собой напрашивается истолкование в геометрии мира величины ф^ как 4-потенциала, а тензора F, следовательно, как напряженности электромагнитного поля. Ибо отсутствие электромагнитного поля — необходимое условие того, чтобы имела силу прежняя эйнштейновская теория, из которой вытекают лишь гравитационные явления. Встав на подобную точку зрения, мы увидим, что электрические величины — это величины такого рода, что числа, характеризующие их в определенной системе координат, не зависят от произвольного выбора метрического масштаба. В этой теории нужно вообще заново пересмотреть вопрос о масштабе и размерностях. Ранее называли некоторую величину, например, тензором второго порядка (ранга 2), если только одним значением этой величины, после того как выбран произвольный масштаб, в любой системе координат определяется числовая матрица aik, задающая коэффициенты инвариантной билинейной формы для двух произвольных бесконечно малых сдвигов:
dih dxi oxk. (И)
Мы же называем величину тензором, если при задании некоторой системы координат и при определенном выборе коэффициента пропорциональности, содержащегося в gik, компоненты этой величины aik определяются однозначно, причем так, что при преобразованиях координат форма (11) остается неизменной, а при замене gik на Xgik коэффициенты aik переходят в Xeaik. Тогда мы говорим, что этот тензор обладает весом е или что он имеет размерность I2e (линейному элементу ds приписывается размерность «длины» I). Абсолютно инвариантные тензоры могут обладать лишь весом 0. К этому типу относится и тензор напряженности с компонентами Fik. Согласно формуле (10), он удовлетворяет первой системе уравнений Максвелла:
