Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
^аЬ=Ф;аф;Ь—?аьЛ;сф;<Ь (4.2)
Если это выражение перенести в квантовую теорию, рассматривая Ф как операторы, то возникнет расходимость, ибо для каждой моды справа от оператора уничтожения стоит оператор рождения. Поэтому необходимо каким-то образом вычесть такую расходимость. Для этого предлагались разные способы (см., например, [30]), но все они кажутся несколько искусственными. Но по аналогии со случаем псевдотензора можно надеяться, что эти все различные перенормировки будут давать один и тот же интегральный поток. Так действительно обстоит дело в случае окончательной квазистационарной области: все перенормированные операторы энергии-импульса Tab, подчиняющиеся уравнениям сохранения TiabJb = 0, стационарные (т. е. для них равна нулю производная Ли относительно вектора Киллинга сдвига во времени Ka) и равные друг другу вблизи J+, будут давать одинаковый поток энергии и момента импульса через любую поверхность постоянной координаты г вне горизонта событий. Поэтому достаточно определить поток энергии вблизи поверхности J+, ибо, в силу уравнений сохранения, он будет совпадать с потоком энергии на горизонте событий. Вблизи J+ способ перенормировки оператора энер-гии-импульса очевиден; нужно привести выражение (4.2) к нормальному виду в смысле расстановки положительно- и отрица-тельночастотных операторов, определенных относительно вектора Киллинга сдвига во времени Ka для окончательного квазистационарного состояния. Вблизи же горизонта событий нормальное произведение операторов относительно Ka не может служить корректным способом перенормировки оператора энергии-импульса, ибо оператор в таком нормальном виде на горизонте расходится. Тем не менее на любой поверхности постоянной координаты г он продолжает описывать один и тот же поток энергии. Перенормированный оператор, регулярный на горизонте, противоречит слабому энергетическому условию, так как дает отрицательную плотность энергии. Такая отрицательная плотность энергии локально ненаблюдаема.
Чтобы найти нормальную форму оператора, требуется так выбрать систему {gj, описывающую волны, которые пересекают горизонт событий, чтобы она имела положительную частоту относительно параметра времени, определяемого по Ka вдоль образующих горизонта для окончательного квазистационарного состояния. Условия, которым ПОДЧИНЯЮТСЯ в зависящий от времени период коллапса, не определены, но это не должно сказываться РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ HA ЧЕРНЫХ ДЫРАХ 505*
на волновых пакетах на горизонте в более поздние времена. Если составить волновые пакеты {qjn} наподобие {р7-п}, то получится, что доля Г;п волнового пакета проникает через горизонт событий, окружающий черную дыру, и уходит к J- с той же частотой со, которую она имела на горизонте. Это дает функцию 8 (а — со') в составе у/П0)'. Остальная часть 1 — Г7-п волнового пакета отражается от потенциального барьера, проходит сквозь коллапсирующее тело, а из него — на J". Здесь волновой пакет уподобляется Поэтому при больших значениях g)'
I YA' I = ехр (жох~*) I тъ%>' I. (4.3)
На основании таких же соображений, как и в разделе 2, можна заключить, что число частиц, пересекающих горизонт событий в моде волнового пакета, максимальной в позднейшие времена, будет равно
(1 - Tjn) {ехр (2nG)x-1)-l}-i. (4.4}
На данной частоте g), т. е. при данном значении 7, коэффициент поглощения Tjn стремится к нулю по мере роста углового квантового числа I под влиянием центробежного барьера. Поэтому на первый взгляд может показаться, что в каждой моде волнового пакета при больших значениях I содержится
{ехр (2п(дк~1) — I}"1
частиц, а полное число частиц и полная энергия, пересекающие горизонт событий в единицу времени, должны быть бесконечно большими. Такая оценка, очевидно, противоречит тому, что, как показано выше, при пересечении горизонта событий наблюдатель должен увидеть лишь конечную (и малую) плотность энергии порядка M"4. Причина такого расхождения, по-видимому, в том, что волновые пакеты {pjn} и {g/n} образуют полный базис решений волнового уравнения только в области, внешней относительна горизонта событий, но не на самом горизонте. Поэтому, чтобы рассчитать поток частиц через горизонт, следует найти поток через какую-нибудь поверхность сразу над горизонтом и перейти к пределу, устремив эту поверхность к горизонту.
Чтобы провести такие вычисления, удобно ввести новые волновые пакеты: Xjn = р$, + Язп, которые будут давать нам часть пакетов Pj7l и qjn, проходящую сквозь коллапсирующее тело, и yjn = = Pm + gjn\ которые дают часть пакетов pjn и qjn, распространяющуюся на J" по квазистационарной метрике окончательной черной дыры. В первоначальном состоянии вакуума моды {yjn} 506 С. Хокинг
не будут включать частиц, а в каждой моде Xjn будет содержаться {ехр (2ясох-1) — І}-1 частиц. Эти частицы будут казаться вылетающими из коллапсирующего тела сразу вне горизонта событий и разлетающимися по радиусам. Их доля Гуп будет проникать за потенциальный барьер, имеющий максимум при г = 3Af, и уходить к J+, где эти частицы образуют тепловое излучение черной дыры. Остальная часть 1 — Гуп будет отражаться потенциальным барьером обратно и пересекать горизонт событий. Таким образом, полный поток частиц через поверхность постоянной координаты г сразу над горизонтом будет составлять Г7П и будет направлен наружу.
