Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
1) Симметричный тензор Риччи Z?a? может быть определен, согласно уравнению (3), как «максвелловский квадрат» антисимметричного тензора /ах в том и только в том случае, если, во-первых, след этого тензора (фиг. 1) равен нулю и, во-вторых, квадрат его пропорционален единичной матрице:
Д = = (4)
^4=^(1^). (5)
Поэтому мы требуем, чтобы тензор Риччи удовлетворял этим условиям.
2) В этом случае свернутым тензором кривизны с точностью до некоторого произвольного угла а однозначно определяется локальное значение приведенного электромагнитного тензора напряженности /от. Символически эту связь можно представить в форме *)
/ат—(^максв. корень)ат cos а + (*-^максв. корень)ат sin а. (6)
3) В уравнения Максвелла подставляется напряженность электромагнитного поля, выраженная через кривизну Риччи. С этого момента законы электродинамики приобретают чисто геометрический характер. Во-первых, с помощью производной тензора Риччи мы строим вектор ат, определяемый соотношением
= (-g)1/2 [t^V] R^ * . (7)
(В случае нулевого поля, когда Ry6R^6 обращается в нуль, необходим особый подход.) Во-вторых, мы требуем, чтобы был равен нулю ротор этого вектора:
ат; П - an; T = aT, П -an, T = (8)
4) Дифференциальное уравнение (8) в совокупности с алгебраическими уравнениями (4) и (5) содержит во вполне геометрической форме как всю электродинамику Максвелла в искривленном пространстве без источников, так и законы Эйнштейна искривления пространства этим полем. Уравнения (4), (5) и (8) составляют то, что мы называем «исконно единой теорией». Электрическое
независимо пришел к результатам Райнича, еще не зная о его ценном исследовании. Возможность построения такой «исконно единой теории» была нам впервые подсказана д-ром X. Эвереттом.
Мы выражаем нашу признательность проф-ру В. Баргману, который два года назад обратил наше внимание на уравнения (5) и (6), заметив, что их содержание было независимо обнаружено различными исследователями, и выразил его сущность в изложенной выше исключительно простой форме. Первоначальное доказательство было дано самим Райничем [3]. Этот результат неявно фигурирует в теореме V в работе Синга [5] (см. также книгу Синга [6], статью Боннора [7] и диссертацию JI. Мариб [8], за присылку которой мы выражаем JI. Марио признательность). 548 Ч. Мизнеру Дж. Уилер
и магнитное поля не являются стимулами для изобретения единой теории поля или введения того или иного нового типа геометрии. «Исконно единая теория поля» Максвелла, Эйнштейна и Райнича, излагаемая в настоящей работе, описывает электрическое и магнитное поля скоростью изменения кривизны чисто римановой геометрии и ничем более.
Сущность этого объединения может быть следующим образом выражена математически: уравнения Максвелла, как и уравнения Эйнштейна, являются уравнениями 2-го порядка; две системы уравнений могут быть объединены в одну систему уравнений (8) 4-го порядка. С физической точки зрения это означает, что электромагнитное поле оставляет отпечаток на метрике и этот отпечаток настолько характерен (фиг. 2), что по нему можно прочесть все необходимые сведения об электромагнитном поле.
В случае, когда задано чисто метрическое поле, удовлетворяющее уравнениям (4), (5) и (8) исконно единой теории поля, электромагнитное поле можно найти следующим образом. Во-первых, вычислим всюду вектор электромагнитного поля aJ1, согласно (7). Во-вторых, вычислим, исходя из некоторой точки 0, интеграл
эс
а (х) = ? CCfl dx^ + а0. (9)
О
Так как ротор величины a^ равен нулю, этот интеграл не зависит от пути, поскольку различные пути могут быть переведены друг в друга непрерывным образом. (Для многосвязного пространства необходимо новое рассмотрение.) Поэтому мы имеем безразмерное число — угол а, определенный как функция точки с точностью до аддитивной постоянной а0. Наконец, подставляем этот угол в соотношение (6) и находим электрическое и магнитное поле в любой точке пространства.
Мы видим, что давно уже сформулированная теория оказывается хорошо приспособленной для описания гравитации и электромагнетизма с помощью пустого искривленного пространства. Как же обстоит дело с зарядом?
Эйнштейн подчеркивал, что уравнения электромагнетизма и общей теории относительности носят чисто локальный характер. Они связывают условия в одной точке с условиями в другой, бесконечно близкой к ней точке. Они ничего не говорят о топологии пространства в целом. Эйнштейн [9] руководствовался принципом Маха при рассмотрении пространства, топологически не эквивалентного евклидову,— сферического или почти сферического мира. Однако Эйнштейн чувствовал себя в долгу перед мыслителем, которому принадлежали еще более далеко идущие идеи. Риман 2) в своей знаменитой вступительной лекции рас-
1J Этим выражением мы обязаны проф-ру П. Бергману.
2) В вводной части своей лекции [10] Риман заявил, что «те свойства, которые выделяют пространство из других мыслимых трехмерных величин, могут быть почерпнуты не иначе, как из опыта» (цитировано по статье Клиффорда в работе [11]). (См. данный сборник, стр. 18.— Прим. ред.) КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КАК ГЕОМЕТРИЯ 549
