Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
* Hawking S. W., Commun. math. Phys., 43, 199 (1975). © by Springer-Verlag 1975 © Перевод на русский язык, «Мир», 1-979 480 С. Хокинг
малости, мы знаем, что квантовая механика играет очень важную роль в определении поведения полей материи. Поэтому встает задача выработать последовательный подход, при котором метрика пространства-времени рассматривалась бы с классических позиций, но была бы связана с полями материи, рассматриваемыми на основе квантовой механики. Вероятно, такой подход может быть лишь приближением к более глубокой теории (еще не существующей), в которой будет проквантовано и само пространство-время. Тем не менее можно надеяться, что он давал бы очень хорошее приближение почти во всех задачах, кроме анализа явлений вблизи пространственно-временных сингулярностей.
Я использую в этой статье приближение, в котором материальные поля, такие, как скалярное, электромагнитное или поле нейтрино, подчиняются обычным волновым уравнениям, если в них метрику Минковского заменить классической метрикой пространства-времени gab. Последняя удовлетворяет уравнениям Эйнштейна с источником в правой части, равным среднему значению должным образом определенного оператора энергии-импульса материальных полей. При такой формулировке квантовой механики в искривленном пространстве-времени встает проблема истолкования операторов полей как операторов уничтожения и рождения. В плоском пространстве-времени обычно разлагают потенциалы на положительно- и отрицательночастотные составляющие. Если, например, ф — потенциал безмассового эрмитова скалярного поля, удовлетворяющего уравнению ф;ObrIab = то его представляют в виде
ф=2{/І*!+7Л (1.1)
г
где {ft} — полная система ортонормированных комплекснознач-ных решений волнового уравнения fi]ab r]ab = 0, содержащих только положительные частоты относительно обычной временной координаты Минковского. Оператор at интерпретируется как оператор уничтожения, а оператор at — как оператор рождения частиц в і-м состоянии. Состояние вакуума | О > определяется как состояние, в котором уничтожение частиц невозможно т. е.
CLi IО ) = О при всех І.
В искривленном пространстве-времени также можно рассматривать эрмитов оператор скалярного поля ф, удовлетворяющий ковариантному волновому уравнению ф;аь?аЬ = 0. Но его невозможно разложить на положительно- и отрицательночастотные составляющие, ибо в искривленном пространстве-времени положительные и отрицательные частоты не имеют инвариантного смысла. Все же можно потребовать, чтобы функции {/$} и {/$} в совокуп- РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ HA ЧЕРНЫХ ДЫРАХ 481*
ности образовали полный базис для решений волнового уравнения, причем
Yi J №-,a-7,fi-,a)d2a = otJ, (1.2)
S
где S — соответственно подобранная поверхность. Условие (1.2), однако, не выделяет однозначно из пространства всех решений подпространства, натянутого на {/J, а потому не определяет разбиения оператора ср на составляющие, отвечающие уничтожению и рождению частиц. В плоской или асимптотически плоской области пространства-времени адекватным критерием выделения {fi} является наличие у этих функций лишь положительных частот относительно временной координаты Минковского. Но если мы имеем дело с пространством-временем, которое содержало начальную плоскую область 1, сменившуюся затем областью с кривизной 2 и, наконец, снова плоской областью 3, то базис (Z1J, содержащий только положительные частоты в области 1, не совпадает с базисом {/зі}, содержащим только положительные частоты в области 3. Это значит, что первоначальное состояние вакуума | O1) (т. е. состояние, удовлетворяющее условию Ctli I O1) = 0 для любого первоначального оператора уничтожения alt) не будет совпадать с конечным состоянием вакуума | O3), иначе говоря, a3i I O1) Ф 0. Данное обстоятельство можно истолковать как рождение метрикой, зависящей от времени,— или гравитационным полем — некоторого числа квантов скалярного поля.
Хотя и очевидно, что подпространство, натянутое на {/J, относится к асимптотически плоской области, оно определяется неоднозначно для произвольной точки искривленного пространства-времени. Предположим, что вектор скорости наблюдателя в точке р равен va. Пусть В — наименьшая верхняя грань | Rabcd | в любой ортонормированной тетраде, временноподобный вектор которой совпадает с va. В окрестности U точки р наблюдатель может построить локальную инерциальную систему координат (например, нормальных координат) с координатным радиусом порядка B~lf2. Затем он может выбрать систему {/J, удовлетворяющую уравнению (1.2), приближенно отвечающую в окрестности U положительным частотам относительно временной координаты в U. Для тех мод Д-, характеристическая частота со которых велика по сравнению с Вг/2, это приводит к неопределенности между fi и комплексно-сопряженной функцией fi порядка экспоненты с показателем, кратным — со5~1/2. Таким образом, неопределенность между оператором уничтожения CLi и оператором рождения а\, соответствующим этой моде, экспоненциально мала. Но неопределенность между CLi и at становится стопроцентной, если этой моде соответствует со < 51/2. Такая неопределенность приводит для оператора числа 482 С. Хокинг
