Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
ванности (1.2), где в качестве поверхности S берется J", причем эти решения содержат только положительные частоты относительно канонического аффинного параметра на J~. (Такое условие положительности частоты можно определить однозначно, несмотря на существование «супертрансляций» в группе асимптотической симметрии Бонди — Метцнера — Сакса [21, 22].) Операторы а-г и at естественно рассматривать как операторы уничтожения и рож- РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ HA ЧЕРНЫХ ДЫРАХ 489*
дения приходящих частиц, т. е. частиц на изотропной бесконечности прошлого J". Поскольку безмассовые поля полностью определяются своими начальными данными на J", оператор ср можно представить в форме (2.3) всюду. В области вне горизонта событий можно также задать безмассовые поля их значениями на горизонте
Фиг. 3
Диаграмма Пенроуза для сферически-симметричного коллапсирующе-го тела, образующего черную дыру.
Вертикальная штриховая линия слева изображает несингулярный центр тела.
событий и на изотропной бесконечности будущего J+, так что потенциалу ф можно придать вид
Ф = 2 {Pibi + Pibi + ЧіСі + qA). (2.4)
і
Здесь {pj — чисто расходящиеся решения волнового уравнения (т. е. их значения Коши на горизонте событий равны нулю), а {gj — решения, не содержащие расходящихся компонент (т. е.. их данные Коши равны нулю на J+). Решения {pj и {gj должны быть полными наборами, удовлетворяющими условиям ортоиорми-рованности (1.2), где в качестве поверхности S взяты для первых J+, а для вторых — горизонт событий. Кроме того, требуется, чтобы система {pj содержала только положительные частоты относительно канонического аффинного параметра вдоль изотропных геодезических образующих J+. При наложении на {pj условия положительной частотности операторы {6J и {Ъ1} можно рассматривать как операторы уничтожения и рождения расходящихся частиц, т. е. частиц на J+. Следует ли наложить какое-то условие типа положительной частотности на {gj и если да, то по отноше- 490 С. Хокинг
нию к чему — не ясно. Выбор системы {дг} не сказывается на результатах расчетов испускания частиц в сторону J+. К этому ^вопросу я вернусь в разделе 4.
Так как безмассовые поля полностью определяются их данными на J", системы {pj и {дг} можно представить в виде линейных комбинаций функций {/J и {/J:
й = + (2-5)
І
?/ = 2(V ijfj + nJj)- (2.6)
о
Соответствующие соотношения для операторов таковы:
= (2.7)
3
+ (2.8)
3
Начальное состояние вакуума | 0), т. е. состояние, не содержащее входящих частиц, иначе говоря частиц на J", определяется условием
at і 0) = 0 при всех і. (2.9)
Но поскольку коэффициенты ?j7-, вообще говоря, отличны от нуля, начальное состояние вакуума будет отличаться от конечного состояния вакуума для наблюдателя на J+. Вместо этого он получит для среднего значения оператора числа частиц в і-й расходящейся моде выражение
<0. IftJbiIO-) = 2 IpijI2. (2.10)
з
Поэтому, чтобы найти число частиц, рождаемых гравитационным лолем и уходящих в бесконечность, нужно просто вычислить коэффициенты Можно полагать, что это была бы работа не из чистых, да и результат будет зависеть от всего хода гравитационного коллапса. Но, как я покажу, можно вывести асимптотическое выражение для ?^, в котором эти величины зависят только от поверхностной силы тяжести окончательной черной дыры. Происходит рождение частиц с некоторой конечной интенсивностью, зависящей от конкретного хода коллапса. Эти частицы рассеиваются, а позднее, с неким запаздыванием, на J+ устанавливается постоянный поток частиц, определяющийся асимптотическим ВИДОМ коэффициентов
При вычислении этого асимптотического вида для большего удобства можно разлагать входящие и расходящиеся решения в интегралы Фурье по опережающему и запаздывающему времени и использовать нормировку на б-функцию. Тогда решения с ко- РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ HA ЧЕРНЫХ ДЫРАХ 491*
нечной нормировкой можно получить, составляя из фурье-ком-понент волновые пакеты. Поскольку пространство-время здесь сферически-симметрично, входящие и расходящиеся решения можно также разлагать по сферическим гармоникам. Тогда вне коллапсирующего тела можно записать входящие и расходящиеся решения в виде
UЧш = (2л) -1/2 г-1 (со') -1/2 Fa, (г) e*»'*Ylm (0, ф), (2.11) PaiIm= (2я)'(г) e^Ylm (в, ф), (2.12) где V и и — обычные опережающая и запаздывающая координаты:
v = t + r + 2Mln u = t — r — 2M In
2М г
2 M
(2.13)
(2.14)
Каждое решение Pdii7n можно представить в виде интеграла по оэ
ОТ решений fto'lm и /(o'Zm ПРИ ОДИНаКОВЫХ ЗНаЧЄНИЯХ I И \ Ш \ (индексы I и т я буду далее отбрасывать):
OO
Pco= j (ow/co'+ ?co(о'7о)') da'. (2.15)
о
Чтобы найти коэффициенты а^ и ?o^', рассмотрим решение Pa, распространяющееся в обратном направлении от J + с данными Коши на горизонте событий, равными нулю. Составляющая решения Pai будет рассеяна статическим полем Шварцшильда вне коллапсирующего тела и придет на J' с той же частотой оз. Это даст в коэффициенте Oc0kj0' слагаемое б (о' — о). Остальная часть р™ решения р^ проникает в коллапсирующее тело, где частично рассеивается, а частично отражается через центр, приходя в конце концов на J-. Именно составляющая рприводит к интересным эффектам. Так как запаздывающая временная координата и обращается в бесконечность на горизонте событий, поверхности постоянной фазы решения рш сгущаются вблизи горизонта (фиг. 4). Наблюдателю на коллапсирующем теле кажется, что волна приобретает очень большое фиолетовое смещение. Поскольку эффективная частота очень велика, эта волна проходит по законам геометрической оптики через центр тела и далее на J". На поверхности J- решение pa) совершит бесконечное число колебаний до наступления самого последнего момента V0 опережающего времени, в который изотропная геодезическая может уйти с J-, чтобы пройти через центр тела и достичь J+, прежде чем ее уловит горизонт событий. Вид р{ы на J" вблизи v = V0 можно определить следующим образом. Пусть х — точка на горизонте событий вне материи, а Г — изотропный вектор, касательный к горизонту. 492 С. Хокинг
