Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Возьмем в точке X ориентированный в будущее изотропный вектор па, направим его радиально внутрь и нормируем так, чтобы выполнялось равенство 1апа = — 1. Вектор —гпа (при малом положительном є) будет связывать точку х на горизонте событий с соседней изотропной поверхностью постоянного запаздывающего* времени и, а тем самым и с поверхностью постоянной фазы решения Если параллельно перенести векторы Г и па вдоль изотропной геодезической у, проходящей через X и являющейся образующей горизонта, то вектор —гпа будет все время связывать
Горизонт событий
Фаг. 4
Диаграмма Пенроуза. Решение волнового уравнения рм претерпевает бесконечное число колебаний вблизи горизонта событий и вблизи поверхности V = VQ.
горизонт событий с одной и той же поверхностью постоянной фазы решения рыЧтобы найти соотношение между є и фазой представим себе (фиг. 2), что коллапсирующего тела нет, а вакуумное решение Шварцшильда аналитически продолжено так, чтобы заполнить всю диаграмму Пенроуза. Тогда можно перенести пару (Za, па) обратно до той точки, где пересекаются горизонты событий прошлого и будущего. При этом вектор —єпа будет ориентирован вдоль горизонта событий прошлого. Пусть К — аффинный параметр на горизонте событий прошлого, такой, что в точке пересечения обоих горизонтов А, = 0, a ClxaIdX = па. Аффинный параметр X связан с запаздывающим временем и на горизонте событий прошлого соотношением
А,= —Се-™,
(2.16) РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ HA ЧЕРНЫХ ДЫРАХ 493*
где С — постоянная, ах — поверхностная сила тяжести черной дыры, определяющаяся равенством Ka-bKb = — кКа на горизонте; здесь Ka— вектор Киллинга сдвига во времени (для шварц-шильдовской черной дыры х = 1/4М). Отсюда следует, что вектор — 8па связывает горизонт событий будущего с поверхностью достоянной фазы —(со/х) (In 8 — In С) решения Этот вывод будет верен также и в реальном пространстве-времени (включающем коллапсирующее тело) в области вне этого тела. Вблизи горизонта событий вследствие очень большой эффективной частоты решения р{о2) оно будет проходить через коллапсирующее тело в соответствии с приближением геометрической оптики. Это означает, что если продолжить изотропную геодезическую у назад до конечной точки горизонта событий и далее на J- при v = v0, а вектор па перенести параллельно вдоль у, то вектор —та будет ло-прежнему соединять геодезическую у с поверхностью постоянной фазы решения ра). На J- вектор па будет параллелен вектору Киллинга Ka1 касательному к изотропным геодезическим образующим поверхности
па = DKa.
Таким образом, на при малых положительных V0 — v фаза решения будет равна
— — [In (v0 - V) - In D-In С]. (2.17)
УС
Поэтому на J- решение р™ обращается в нуль при v > V0, а при V < V0 оно равно
< ~ (2я)-1/sa>-V.r-ip- ехр [in (-^=P) ]} , (2.18)
где Рй = Р(о (2М) — радиальная функция Рш на горизонте событий прошлого в аналитически продолженном решении Шварцшильда. Выражение (2.18) для Рсо* верно, лишь если разность V0 — V мала и положительна. При меньших значениях опережающего времени амплитуда будет другой, а частота, определяемая по отношению к V, будет приближаться к исходной частоте оз.
Производя фурье-преобразование р™, можно оценить вклад ЭТОГО решения В коэффициенты OCcoco' и ?uxo'. При больших значениях о' для этого достаточно асимптотического вида (2.18). Поэтому, когда частота со' велика,
<4^ « (2л)"1 P* (CD)ico/K exp (i (O)-CO') v0) X
(2.19)
coo- (2.20) 494 С. Хокинг
При больших значениях v решение р\® на J- равно нулю. Это» означает, что его фурье-образ является аналитической функцией на верхней половине плоскости о' и что р^ можно корректна представить интегралом Фурье, контур интегрирования для которого сдвинут в верхнюю половину плоскости о'. Фурье-образ Pi^ содержит множитель (—ш')-1+І0)/х, обладающий логарифмической расходимостью при о' = 0. Чтобы с помощью соотношения (2.20) получить ?too)' из оь©і', следует аналитически
(9) 13 13
продолжить awe)' против часовой стрелки вокруг этой сингулярности. Это означает, что
і aZ- і = ехр (^) I |. (2.21)
В действительности то обстоятельство, что решение р(а не определяется выражением (2.18) при малых значениях опережающего времени, означает, что сингулярность в acow имеет место при со' = со, а не при со' = 0. Однако соотношение (2.21) сохраняет силу при больших значениях со'.
Среднее значение полного числа рождаемых частиц на J +
со
в интервале частот от о до о + dm равно dco ^ | P0kd' |2 dm\
о
Этот интеграл расходится, поскольку функция | ? 0)0)' Ведет себя как (о)')_1/2 при больших со'. Бесконечно большое полное число рождаемых частиц соответствует конечной постоянной интенсивности излучения на протяжении бесконечно долгого времени, что можно показать, составив полный ортонормированный набор волновых пакетов с помощью фурье -компонент P03. Возьмем
(5+1)8
Pjn = B-V* J ?-2^-1?,^, (2.22)
je
где 7 и п — целые числа, 7^0, є > 0. При малых є такие волновые пакеты будут обладать частотой / є и наибольшей амплитудой вблизи значения запаздывающего времени и = 2ятгє-1 с шириной є-1. Величины {pjn} можно разложить по решениям {fa}:
