Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
OO
Pjn = \ (ajncWo)' + ?jnCD'/cD') d(u\ (2.23)
О
где
(5+1)8
OjW = Bmmyz [ е-2™п&-1(»ааа> da и т. д. (2.24)
58 РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ HA ЧЕРНЫХ ДЫРАХ 495*
При ] >8, Я» Є I Objnco' I
(2я)"1 P-(0-1/2Г (1 ) 8-V2 ((O')-V2 х
(5+1)8
X
je
j ехр гоэ" (— 2лп& 1 -f-ч"1 In со') do"
je
= I лГ 1PgjT ^ 1 —j є~1/2 (co')"1^-1 sin -y- , (2.25)
где со = /є и z = х-1 In со' — 2я^гє-1. В случае волновых пакетов, достигающих J+ при больших значениях запаздывающего времени, т. е. соответствующих большим значениям п, главный вклад в коэффициенты ajnu)' и ?7-n(u' дают очень высокие частоты о/ порядка ехр (2лпкг~1). Следовательно, эти коэффициенты определяются только асимптотическими выражениями (2.19), (2.20), которые соответствуют большим со' и не зависят от конкретного хода коллапса.
Среднее значение числа рождаемых и уходящих в бесконеч-ность J+ частиц в моде pjn волнового пакета равно
л».
|2rfco'. (2.26)
Его можно вычислить следующим образом. Рассмотрим волновой пакет Pjn, распространяющийся назад от J+. Часть его, равная 1 — Tjn, рассеивается на статическом поле Шварцшильда, а часть Tjn проникает в коллапсирующее тело. Здесь
OO
гJn = j (I 12- I PfntCO' I2) deо\ (2.27)
О
причем afnо' и ?jnco' вычисляются по формулам (2.19), (2.20) исходя из той части волнового пакета pfn, которая проникает в звезду. Знак минус перед вторым слагаемым в правой части выражения (2.27) обусловлен тем, что компоненты pfn с отрицательной частотой дают отрицательный вклад в поток частиц внутрь коллапсирующего тела. Согласно формуле (2.21),
I Otjn0)' I = ехр (ясох-1) I ?&v I. (2.28).
Таким образом, полное число частиц, рожденных в моде pjn, равно
Г7.п [ехр (2JXC0X-1) - I]"1. (2.29)
Но при больших значениях запаздывающего времени часть Tjn волнового пакета, проникающая в коллапсирующее тело, почти 496 С. Хокинг
столь же велика, как и часть его, которая пересекла бы горизонт событий прошлого, если бы там не было коллапсирующего тела, но было бы аналитически продолжено внешнее решение Шварцшильда. Поэтому данная часть Tjn та же самая, что и часть аналогичного волнового пакета, приходящего от J-, которая пересекает горизонт событий будущего и поглощается черной дырой. Следовательно, соотношение между сечениями излучения и поглощения здесь точно такое же, как и для тела с температурой, равной к/2 л, если ее выразить в геометрических единицах.
Аналогичные выводы получаются для электромагнитного и линеаризованного гравитационного полей. Поля на J-, обусловленные волнами положительной частоты, приходящими с J+, имеют тот же асимптотический вид, что и (2.18), но содержат в своей амплитуде дополнительный множитель фиолетового смещения. Этот добавочный множитель сокращается при построении скалярного произведения, так что асимптотический вид (2.19) и (2.20) коэффициентов а и ? сохраняется. Поэтому черные дыры должны испускать фотонное и гравитонное тепловое излучение. Для фермионов с нулевой массой покоя (например, нейтрино) также получаются аналогичные выводы с той лишь разницей, что отрицательно-частотные составляющие, выражаемые через коэффициенты ?, дают теперь положительный вклад в поток вероятности внутрь коллапсирующего тела. Это означает, что член I ? |а в формуле (2.27) имеет теперь обратный знак. Отсюда следует, что число частиц, испускаемых в моде расходящегося волнового пакета, равно умноженному на [ехр (2лож"1) + I]-1 числу частиц того волнового пакета, который был бы поглощен черной дырой, если бы он пришел с J". Это опять-таки именно то, что должно происходить при тепловом излучении частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака.
Поля с отличной от нуля массой покоя квантов не достигают поверхностей J" и J Поэтому входящие и расходящиеся состояния этих полей следует описывать на основе таких представлений, как проективная бесконечность Эрдли и Сакса [23] и Шмидта [24]. Но если начальное и конечное состояния асимптотически являются решениями Шварцшильда или Керра, то входящие и расходящиеся состояния полей можно рассматривать, просто привлекая разделение переменных, и можно определить положительные частоты по отношению к векторам Киллинга сдвига во времени этих начальных и конечных асимптотических пространств-времен. В асимптотическом будущем связанных состояний не будет — каждая из частиц уйдет либо за горизонт событий, либо в бесконечность. Поэтому несвязанные расходящиеся состояния вместе с состояниями горизонта событий образуют полный базис решений волновых уравнений в области вне горизонта событий. В асимптотическом прошлом связанные состояния могли бы суще- РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ HA ЧЕРНЫХ ДЫРАХ 497*
ствовать, если бы у коллапсирующего тела бесконечно долгое время был ограниченный радиус. Но с равным основанием можно принять, что данное тело коллапсировало, начиная с бесконечного радиуса, а в таком случае не может быть связанных состояний. Возможность существования связанных состояний в прошлом не сказывается на интенсивности испускания частиц в асимптотическом будущем, она опять будет равна интенсивности излучения тела с температурой х/2я. Здесь единственное отличие от случая нулевой массы покоя состоит в том, что в частоту со в тепловом множителе [ехр (2ло)х-1) =F I]"1 теперь входит масса (энергия) покоя частицы. Поэтому интенсивность испускания частиц с массой покоя т будет небольшой, если температура х/2я не превышает т.
