Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
dl* = dtf + sh* X (dB* + sin2 0 dtp). 374 Е. М. Лифшиц
Так, скалярные псевдосферические функции удовлетворяют аналогичному (3.4) уравнению Qla = — {п% + 1) Q- Параметр п пробегает здесь все положительные значения от 0 до оо (непрерывный спектр собственных значений) в противоположность сферическим функциям, порядок п которых пробегает целочисленные значения (дискретный спектр). Это связано с тем, что в сферическом случае координата % пробегает значения в конечном интервале от О до 2я и на собственные функции должно быть наложено еще требование однозначности.
Приведем явные выражения для наиболее симметричных псевдосферических функций:
скалярной
Q=-s^r* (3-15)
векторной
С л 1 d Sin П7
Sy =COS 0-г-----г— «
sh X dx sh X
S, = 0.(3.16,
Порядок п сферической (или псевдосферической) функции определяет ее пространственную периодичность. Чем больше п, тем меньше «длина волны» а!п. Если мы имеем возмущения в некотором участке пространства с размерами порядка /, то в его разложение войдут в основном функции с п ~ all. Другими словами, рассматривая возмущения, пространственное распределение которых определяется сферической функцией с большим (малым) п, мы тем самьш исследуем поведение возмущений в малых (больших) участках пространства.
§ 4. ВОЗМУЩЕНИЯ G ИЗМЕНЕНИЕМ ПЛОТНОСТИ МАТЕРИИ
Ниже мы выписываем все уравнения сразу для открытой модели мира, не приводя соответствующих уравнений для закрытой модели, из которых они получаются путем замены а, т], п на ia, ЇТ], in.
Начнем с рассмотрения возмущений первого типа и положим hi = X (Tl) Pl + Ii (T1) QL h = IiQ. (4.1)
В возмущениях этого типа вместе с гравитационным полем испытывает изменение также и плотность, т. е. мы имеем дело с возмущениями, сопровождающимися возникновением сгущений или разрежений материи. о ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ МИРА 375
Подставляя (4.1) в общие уравнения (2.15) и (2.16) и вычисляя производные, получим в результате следующие уравнения для Яиц:
Г+ 2 4-^-j^1T-(^) = О, ^4(2+3^+^(. + ,) (1+3^-) = 0. (4'2)
Из (2.17), (2.18) получим для относительного изменения плотности
T = [+4) ¦+ ^+ 3jT ] Q <4-3>
и для скорости
6^ = + К"2 +V*' + <Л2 + 4) r J ра' (4-4)
Пространственное распределение скорости определяется вектором Pa, т. е. скорость направлена в каждой точке, как градиент распределения плотности.
Уравнения (4.2) имеют, прежде всего, следующие два частных интеграла:
X = —[X = const, ^= _(И2+1) J^LsX0, + Jia-^Lssixo. (4.5)
Они соответствуют как раз тем фиктивным изменениям метрики (2.19), которые могут быть исключены преобразованием системы координат 1J. С их помощью можно понизить порядок уравнений (4.2). Для этого делаем подстановку
Ы-Ц=(Ьо + Цо) J SdTi, r-fx' = ^;-^) J + (4.6)
Первый из интегралов (4.5) получается из (2.19) выбором /0 = (?, fa = 0. Второй же получается при /0 = 0, /а = Pa.
В закрытой модели п целочисленно. При п = 1,2 надо положить X = O соответственно тому, что тензор P^ не может быть образован. Для ц остается уравнение второго порядка; оба решения этого уравнения при п = 2 могут быть исключены преобразованием системы координат. При п = 1 преобразованием координат исключается лишь одно из решений (вектор Pa не может быть образован при п = 1); второе же соответствует бесконечно малому изменению полной массы мира и потому тоже не интересно. Таким образом, реальным возмущениям метрики соответствуют^здесь лишь п >» 2. 376 E. Af. Лифшиц
После простых преобразований получаем для новых неизвестных функций ^ и ^ следующие уравнения:
Начнем с наиболее ранних стадий расширения мира, когда материя сжата настолько, что уравнение ее состояния есть р = = р/3. Для радиуса кривизны мира имеем при этом а = b0 sh т] (1.16). Поскольку уравнение состояния р = р/3 имеет смысл рассматривать только при малых временах t (т. е. малых г]), то достаточно ограничиться исследованием уравнений при г] 1. Простыми преобразованиями легко привести уравнения (4.7) в рассматриваемом случае к виду 1J
Г+2^ + 5-2?^ = О, ?=-Lt6-T^) +
+ f(3"^2)- <4-8>
Решения этих уравнений удобно рассматривать отдельно для двух предельных случаев. Предположим сначала, что число п невелико (возмущения в больших областях пространства), так что пц 1. Опуская промежуточные вычисления, приведем результат для A, \i и относительного изменения плотности 2):
х=ъ+ H=--2(n2+4) CiT1+C2,
с V. (4.9)
-f-=jlV- +c^2) Q ^ < V
(C1, C2 — постоянные). Мы видим, что в \i и бр/р есть члены, возрастающие со временем как первая степень и как квадрат радиуса кривизны (при малых ц имеем а a const г]). Легко, однако, видеть, что это возрастание не приводит к тому, чтобы возмущение могло стать большим, т. е. к потере устойчивости. Действительно, в момент t0 своего возникновения возмущение должно
При произвольных г] для g получается уравнение, приводящееся к гипергеометрическому.
2) Постоянные интегрирования, возникающие при вычислении A, jx по
формулам (4.6), зависят от выбора системы координат; мы выбираем их так,
